Les statistiques : notions essentielles

Résumé du document

Synthèse de cours de Mathématiques niveau Licence sur les statistiques.

Extraits

[...] En g´en´eral, la r´eciproque est fausse. Elle est vraie dans le cas de vecteurs gaussiens. Loi gaussienne La variable al´eatoire X est dite gaussienne, de moyenne m et de variance σ si sa fonction caract´eristique a pour expression µ ˆ = exp(−jmξ 21 σ 2 ξ 2 Si σ la loi a une X densit´e qui s'´ecrit : pX = (σ 2π) m)2 /2σ 2 Par d´efinition, le vecteur al´eatoire X (de dimension est dit gaussien, ssi toute combinaison lin´eaire de ses composantes est une variable al´eatoire gaussienne. [...]

[...] ind´ependantes, de mˆeme loi, de mˆeme moyenne P u α = E(X1 ) et telles E(Xn2 ) [...]

[...] Convergences Soit {Xn } une suite al´eatoire d´efinie sur {Ω, P Xn X presque sˆ urement (p.s.), ssi P : Xn = 1. Xn X en moyenne quadratique (m.q.), ssi E(Xn X)2 quand n Xn X en probabilit´e ssi > P ( Xn X quand n Xn X en loi ssi pour toute fonction f continue, born´ee , E(f (Xn E(f quand n Dans ce cas E(1A (Xn E(1A pour tout A B(Rd ) tel que le bord soit de mesure nulle. erarchie des convergences p.s. & % P L m.q. P CS de convergence p.s. [...]

[...] La matrice de covariance est sym´etrique et non-n´egative. Si la matrice de covariance est diagonale, on dit que les composantes sont non corr´el´ees. Ainsi deux variables al´eatoires sont non corr´el´ees ssi E(X1 X2 ) = E(X1 )E(X2 Cas d = 1 In´egalit´e de Tchebyschev : > P ( X In´egalit´e de Jensen : f convexe (forme en f E(f Y 2 ) In´egalit´e de Schwarz : E(XY ) 2 egalit´ X ssi X = λY . 1/p In´egalit´e de H¨older : E(XY ) X ) Y 1/q ) u p+q De l'in´egalit´e de Jensen on d´eduit que, pour tout p X p ) X n et donc X n ) X p ) Changement de variables Soit y = une fonction de Rd dans Rk . [...]

[...] ou en alors le vecteur (Xn Yn ) Y ) en p.s., en m.q. ou en P respectivement. Par contre le r´esultat est faux en L. Mais, si Xn X et Yn a u a est une constante, alors le vecteur (Xn Yn ) Lois des grands nombres Loi forte : soit Xn une suite de v.a. ind´ependantes, mˆeme moyenne E(X1 ) et telles 1 Pn 4 E(Xn ) [...]