Statistiques inférentielles

Thèmes abordés

Statistique, inférentielle

Résumé du document

Soit une population de taille N sur laquelle est observée une caractéristique dont on connaît la moyenne m et la variance s². Lorsqu'on prélève un individu dans cette population le résultat observé est aléatoire et constitue donc une observation d'une v.a. X de moyenne m et de variance s2.
La première observation x1 peut être considérée comme une observation d'une variable aléatoire X1 de même loi que X;La deuxième observation x2 peut être considérée comme une observation d'une variable aléatoire X2 de même loi que X;
La nième observation xn peut être considérée comme une observation d'une variable aléatoire Xn de même loi que X;

Extraits

[...] Deux heures après un réglage de la machine, on a prélevé au hasard un échantillon de 9 pièces. Les diamètres mesurés (en mm) sont : Que peut-on conclure, avec une probabilité de 95% quant à la qualité du réglage de la machine, après deux heures de fonctionnement ? (Le diamètre des pièces suit une loi normale) Estimation de la variance de N(μ,σ2) Moyenne connue Image494 Image498 Image500 Cas où la moyenne est inconnue Image461 Image465 TESTS STATISTIQUES Définition : Un test est un mécanisme qui permet de trancher entre deux hypothèses H0 et H1 à partir des résultats d'un échantillon. [...]

[...] Il s'agit de tester H0 : F°(x) contre H1 : F°(x) au risque α. On note Pi les probabilités associées à F et P°i celles associées à F°. Dans le cas isolé, P1= P(X≤ x1) ; P2 = P(X=x2) ; ; PI-1 = xI-1) et PI= P(X≥xI) Dans le cas continu, P1= x1) ; P2 = P ( x1≤X m0 (test unilatéral droit) Considérons la variable aléatoire Y définie par: = \frac{\overline X - m_0}{\sigma / Test unilatéral droit La variable Y suit une loi normale α= P t1-α) Graph2Khi2 Décision du test : on rejette l'hypothèse H0 si y t 1-α ; y étant une réalisation de la variable aléatoire Y et P(Y t1-α ) = 1-α (t1-α est lu sur la table de la loi Test bilatéral: H0: m=m0 contre H1: m≠ m0 Graph1Khi2 Décision du test : La valeur critique inférieure vaut 1-α/2 et la valeur critique supérieure t1-α/2 Si -t1-α/2≤y t 1-α/2 on accepte l'hypothèse H0 sinon on la rejette au profit de H1 Y≤ t 1-α/2) = 1-α/2 ; t1-α/2 est lu sur la table de ) σ2 inconnue : On procède de la même façon en remplaçant σ2 par son estimateur S2 Et la nouvelle variable de décision Y devient : f6l2_105 Y suit la loi de Student à n-1 degrés de liberté (même allure de densité que la loi normale) Décision du test : -Dans le cas du test unilatéral droit, on rejette H0 si y t 1-α ; y étant une réalisation de la variable aléatoire Y et P(Y t1-α) = 1-α (t1-α est lu sur la table de la loi de Student à n-1 degrés de liberté) -Dans le cas du test unilatéral gauche, on rejette H0 si tα ; P(Y≤tα) =α -Dans le cas du test bilatéral, on accepte H0 si -t1-α/2 y≤ t1-α/2 ; P(Y≤t 1-α/2) α/2 Exercice : On pense que la moyenne (sur 100) à l'examen de math est de 70. [...]

[...] La loi de probabilité de la grandeur considérée permet de déterminer une zone de probabilité 1-α, niveau de signification du test, dont le complément, de probabilité α, est appelé région critique. Si l'estimation tombe dans cette région critique, l'hypothèse doit être rejetée avec le risque α de se tromper Tests non paramétriques Tests d'ajustement: Principe : On se demande si un échantillon extrait d'une population correspond raisonnablement à une loi de probabilité hypothétique de distribution connue F°(x). Soit X le caractère étudié. On fait n observations et on obtient un échantillon x xI) d'effectifs n .,nI). [...]

[...] Statistiques inférentielles ECHANTILLONNAGE Soit une population de taille N sur laquelle est observée une caractéristique dont on connaît la moyenne m et la variance s². Lorsqu'on prélève un individu dans cette population le résultat observé est aléatoire et constitue donc une observation d'une v.a. X de moyenne m et de variance s2. La première observation x1 peut être considérée comme une observation d'une variable aléatoire X1 de même loi que La deuxième observation x2 peut être considérée comme une observation d'une variable aléatoire X2 de même loi que . [...]

[...] La nième observation xn peut être considérée comme une observation d'une variable aléatoire Xn de même loi que Définition : Les v.a X1, X Xn sont indépendantes et de même loi. Elles constituent un échantillon Définition : Toute application définie sur l'échantillon est appelée statistique T. T = f(X1, X2, http://www.iutbayonne.univ-pau.fr/~grau/2A/stat/Image439.gifhttp://www.iutbayonne.univ-pau.fr/~grau/2A/stat/Image439.gif Moyenne empirique Variance empirique Image445Image445 < number > Fréquence empirique Supposons que X X2, .,Xn suivent une loi de Bernouilli et qu'elles sont indépendantes; Image446 Propriétés de la moyenne de l'échantillon Propriétés: http://www.iutbayonne.univ-pau.fr/~grau/2A/stat/Image442.gif Propriétés de la variance empirique Propriétés: Image450 Propriétés de la fréquence empirique Image448 ESTIMATION On peut faire deux types d'estimation : - L'estimation ponctuelle qui consiste à proposer une valeur pour la grandeur considérée, - L'estimation par intervalle de confiance qui donne la probabilité que la grandeur soit comprise dans un intervalle donné. [...]