Statistique : les paramètres de dispersion

Résumé du document

Ce document qui comprend de nombreux schémas et tableaux présente les paramètres de dispersion, utilisés pour comparer 2 séries statistiques.

Extrait : "On appelle étendue d'une série statistique la différence entre les valeurs extrêmes du caractère.
On appelle écart interquartile la différence entre le 1er et le 3e quartiles.

On appelle écart moyen la moyenne arithmétique des écarts (en valeur absolue) par rapport à la moyenne arithmétique".

Extraits

[...] L'observation des prix d'un article en 200 points de vente donne les résultats suivants : Classes de prix en Euros Nombre de points de vente 655 - - - Représenter graphiquement cette série statistique Déterminer la moyenne m et les quartiles Q1 et Q3. Déterminer l'écart moyen, la variance, l'écart-type σ, l'écart interquartile. Déterminer les pourcentages du nombre total d'observations qui se situent dans les intervalles σ, m + σ) et 2 σ, m + 2 σ) Solutions À partir du tableau précédent, on obtient : étendue : 3000 écart interquartile : Q3 - Q1 = 955,38 écart moyen : e = 930/2000 = 561,47 variance : σ 2 = 958639500/2000 = écart-type : σ = 692,33 coefficient de variation : σ = 0,47 Pour calculer l'indice de concentration, il faut dresser le tableau suivant : L'indice de concentration est donc 1338,92/5000 = 0,27 les tableaux suivants seront d'utilité : Représentations graphiques paramètres de position Moyenne : m = 142410/200 = 712,05 La médiane xm, les quartiles Q1 et Q3 s'obtiennent par interpolation à partir des effectifs cumulés. [...]

[...] Ce cas correspondrait à une concentration nulle et la courbe de concentration serait confondue avec la diagonale du carré (droite d'équipartition). Plus la courbe de Lorentz s'écarte de la droite d'équipartition, plus la concentration est forte. On convient de mesurer la concentration par un INDICE DE CONCENTRATION appelé INDICE DE GINI : indice de Gini = A / A où A est l'aire de la surface limitée par la courbe de Lorentz et la droite d'équipartition et A est l'aire du demi-carré, soit 5000. Pour l'exemple, l'indice de Gini vaut 0,68. [...]

[...] Appliquons ces relations à l'exemple: Exemple: m = 4,24 et m = 5 Le tableau permet de calculer la variance de différentes façons : avec la définition : s2 = 40210,90/1000 = 40,21 d'où s = 6,34 avec la moyenne provisoire 5 : s2 = 40788,50/1000 - 5)2 = 40,21 d'où s = 6,34 avec la moyenne provisoire 0 : s2 = 58188,50/1000 - (4,24)2 = 40,21 d'où s = Coefficient de variation Lorsqu'on dilate ou contracte l'échelle des caractères, la dispersion d'une série statistique est modifiée. En effet, dans une telle opération xi, σ, m deviennent σ avec x'i = kxi, σ ' = k σ, = km. [...]

[...] Ce rapport est appelé COEFFICIENT DE VARIATION : coefficient de variation = σ Cette quantité, dont la valeur reste inchangée par changement homothétique d'échelle, permet la comparaison de deux séries statistiques dont l'échelle des caractères n'est pas la même Indice de concentration Reprenons l'exemple 1 et effectuons les calculs indiqués dans le tableau ci-dessous : Représentons graphiquement le pourcentage de nixi cumulés en fonction du pourcentage d'effectif cumulé. On obtient une courbe, dite COURBE DE LORENTZ ou COURBE DE CONCENTRATION qui s'inscrit dans un carré. Si la population était uniformément répartie, les deux colonnes d'effectif cumulé et % de nixi cumulés) seraient identiques. [...]

[...] Statistique : les paramètres de dispersion 1. Étendue, écart interquartile On appelle ETENDUE d'une série statistique la différence entre les valeurs extrêmes du caractère. On appelle ECART INTERQUARTILE la différence entre le 1er et le 3e quartiles. On définit de façon analogue l'écart interdécile ou l'écart intercentile : 2. [...]