Similitudes planes et isométries du plan

Résumé du document

Cours de Mathématiques de Terminale S sur les similitudes planes directes et indirectes, sur les isométries du plan (déplacements et anti-déplacements) et compléments sur les anti-déplacements (composée de deux réflexions, théorèmes de décomposition, symétrie glissée).

Extraits

[...] T HÉORÈME 23 (Décomposition d'une isométrie). Toute isométrie du plan est la composée d'au plus trois réflexions En effet, soit f une isométrie : si f est un déplacement, alors, d'après le théorème précédent, f est la composée de deux réflexions ; si f est un anti-déplacement, alors soit c'est une réflexion, et le théorème est vrai, soit ce n'est pas une réflexion. Dans ce cas, soit s une réflexion quelconque. Alors f s est la composée de deux antidéplacements, donc c'est un déplacement, qui est lui même la composée de deux réflexions s1 et s Ainsi f s = s2 s d'où f = s2 s1 = s2 s1 s et f est bien la composée de trois réflexions Symétrie glissée T HÉORÈME 24. [...]

[...] On note p q r0 leurs affixes respectives. On a : s est une similtude, donc elle conserve le rapport des distances, d'où : 0 q p0 q p PQ P 0 Q0 = = r 0 p0 = r p P 0 R0 PR s est une similitude directe, donc elle conserve les angles orientés, d'où : 0 q p0 P R , P Q = P P Q arg 0 = arg r p0 1. [...]

[...] La composée g f de f puis de g est la tranformation qui à tout point M associe le point g[f f g N P : M Propriétés : La composée de deux bijections est une bijection ; en général, g f f g (non commutativité) ; propriété d'associativité : pour toutes transformations f , g et on a f = h f ) = h g f quelle que soit f , id f = f id = f ; si f est bijective , alors f f = f f = id ; s'il existe g telle que f g = g f = id, alors f est bijective et f = g ; si f = g h avec g et h bijectives, alors f = g : en effet g ) = h = id h = h = id 1.3 Ecriture complexe d'une transformation D ÉFINITION 7. Soit f une transformation du plan. Soit M le point d'affixe z et soit M d'affixe z l'image de M par f . L'écriture complexe de f est l'expression de z 0 = f en fonction de z. Par abus d'écriture, on notera indifféremment M 0 = f ) ou z 0 = f f pouvant être considérée comme transformant parfois un point en un autre, et parfois un nombre complexe en un nombre complexe. [...]

[...] Si = az + b avec a C ; et b alors s a pour centre le point Ω d'affixe b ω= , pour rapport k = a et pour angle θ = arg(a). On en déduit que a = keiθ et que b = ω(1 d'où = az + ω(1 = az aω + ω = a(z ω) + ω = keiθ ω) + ω = keiθ ω) + ω Exemple : soit s la similitude directe de centre le point d'affixe ω = de rapport π d'angle a pour écriture complexe : 4 z 0 = = i π4 2e + 1 = 2 et 2 ! [...]

[...] Une similitude conserve les angles géométriques. Démonstration : Avec les notations précédentes, les triangles ABC et A0 B 0 C 0 étant semblables, leurs angles 0 B 0 C BCA 0 C 0 A0 et CAB 0 A0 B 0 : un [ = [ = [ = sont égaux deux à deux, c'est-à-dire ABC angle quelconque est donc conservé par une similitude. Remarque : une similitude conserve les angles géométriques, donc, soit elle conserve les angles orientés, soit elle les transforme en leur opposé : les similitudes seront alors appelées directes ou indirectes Cas particuliers Les isométries (transformations qui conservent les distances) sont des similitudes de rapport 1. [...]