Les séries numériques : exemples, définitions, etc.

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Licence sur les séries numériques.

Extraits

[...] k Exemple 4 De mˆeme, on montre que, pour tout x n X x = ex eralisation du raisonnement du sous-paragraphe 1.2 Soit f une fonction positive d´ecroissante sur Soit donc k , on a pour tout x k + f + f f d'o` en int´egrant cette in´egalit´e sur k + on obtient k+1 Z f (x)dx f f + k Ainsi 2 Z f pour k = f (x)dx f f (x)dx f Z f pour k = Z n f (x)dx f 1). pour k = n f En sommant ces in´egalit´es, nous avons n Z f (x)dx sn f 1 La suite (sn et la suite n f (x)dx 1 sont donc de mˆeme nature. + Conclusion : Soit f : R , une fonction continue d´ecroissante alors la s´erie n . est de mˆeme nature que la suite f (x)dx X f n=1 efinitions Soit (un une suite de nombres r´eels ou complexes. [...]

[...] n(n + n n(n + n=1 Calculons la somme partielle sn de la s´erie pout tout n En remarquant que pour tout n , = , on a alors n(n + n u1 = u2 = u3 = = En sommant toutes ces in´egalit´es, nous obtenons sn = 1 X , n un = . n et par cons´equent = lim sn = 1. n(n + Remarque 5 Deux s´eries dont les termes g´en´eraux sont ´equivalents sont de mˆeme nature mais n'ont pas la mˆeme somme. [...]

[...] + + + n X X 2 converge, un converge. n2 n=1 n=1 Corollaire 1 Supposons qu'il existe 2 constantes telles que pour tout entier n on ait 0 Avn un Bvn alors les s´eries X un et X vn sont de mˆeme nature. eor` eme 1 Soient (un et (vn suites r´eelles positives ´equivalentes X X Alors les s´eries un et vn sont de mˆeme nature. D´emonstration un un = vn lim un 1 + vn 0 [...]

[...] Rappel : X un diverge. X 1 converge si α > 1 et diverge si α 1. nα Exemples Etudions la convergence de la s´erie X un u n=1 n Y 1 6 11 16 (5n un = = 5n (5k k=1 5n .n! . Nous avons un Or nous savons que 5 5n = . 5n 5 n X X 1 1X1 diverge donc diverge et par cons´equent un diverge. n 5 n n=1 n=1 n=1 X an u a est une constante positive sin n n=0 Nous avons successivement sin n 1 Nature de la s´erie 1 2 sin n sin n an an an sin n Si 0 [...]

[...] eries Num´ eriques 1 Exemples 1.1 eries eom´ etriques Soit a , on consid`ere la suite (an . Etudions la suite de terme g´en´eral sn = n X ak . k=0 n+1 sn = an+1 = si a = 1 si 0 1 Conclusion : La s´erie X si a = an+1 car car an converge et a pour somme n=0 si a 1. lim an+1 = lim an+1 = 1 Remarque 1 Ce r´esultat est valable pour a appartenant ` a C eries de Riemann Soit α ´etudions la suite de terme g´en´eral sn = n X kα k=1 s1 = 1 s 2α = α + α sn X = 1 + α + α + + α = n kα s2 = 1 + n k=1 X 1 Il est clair que si α lim sn = et dans ce cas = kα k=1 Etudions le cas α > 0. [...]