Séries de Fourier - publié le 05/08/2010

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Licence sur les Séries de Fourier : définition des coefficients de Fourier réels et complexes, théorèmes de convergence en moyenne quadratique, théorème de Dirichlet et théorème de convergence normale.

Extraits

[...] Séries de Fourier Cas des fonctions T -périodiques - Formules et théorèmes 2009-2010 Les séries de Fourier permettent de représenter des signaux périodiques de fréquence ν (ou de période T = d'une superposition (série) de termes sinusoïdaux de fréquence ν, 2ν . On retrouve l'analyse de Fourier en mécanique, électronique, électromagnétisme et en optique ondulatoire ) sous forme ν Soit f CMT , c'est-à-dire : f : R T -périodique, continue par morceaux . Nous avons étudié en cours le cas où T = 2π. Un simple changement de variable nous permet d'obtenir les formules et théorèmes dans le cas où la période est T . [...]

[...] La somme partielle de rang p de la série de Fourier de p Sp = n=0 un = a0 + 2 p (an cos(nωx) + bn sin(nωx)) . n=1 I.3 Relations entre coefficients exponentiels et trigonométriques an = cn + et bn = i (cn ) c0 = a0 et pour n cn = an ibn an + ibn , = I.4 Coefficients et régularité de f Soit f est continue sur T -périodique et C1 par morceaux sur R. [...]

[...] On a donc en particulier un = f . [...]

[...] Théorème de Dirichlet Soit f CMT de classe C1 par morceaux sur R , alors pour tout nombre réel la série de Fourier f(x + + f(x de f converge en ce point et sa somme est égale à lim+ = f(x). On dit que la série de Fourier de f converge simplement vers f la ‘régularisée' de f ; cela signifie que la série un converge simplement sur R vers f. n 2009-2010 On obtient donc n=0 un = c'est-à-dire a0 + = = 2 (an cos(nωx) + bn sin(nωx)) = n=1 cn (f)einωx . [...]

[...] La somme partielle de rang p de la série de Fourier de p Sp = n=0 un = cn (f)einωx . I.2 Type trigonométrique a = 2 n T Soit f CMT , n N bn = T cos(nωx) dx ] sin(nωx) dx ] Les calculs sont simplifiés dans le cas où f est paire ou impaire (voir cours) La série de Fourier de f est un avec u0 = a0 et pour n 2 f est un = an cos(nωx) + bn sin(nωx). [...]