Sections planes de surfaces

Résumé du document

Une fonction f à deux variables est une fonction qui, à tout couple (x ; y) de réels associe un réel noté f(x ; y)

Soit f une fonction à deux variables et k un nombre réel. Alors l'ensemble des points de coordonnées (x ; y) dans un repère tels que f(x ; y) = k est soit l'ensemble vide, soit une courbe appelée ligne (ou courbe) de niveau de f. Une ligne de niveau peut être éventuellement réduite à un point,discontinue, réunion de plusieurs droites. La relation f(x ; y) = k est appelée équation de la courbe.

Extraits

[...] Plus généralement, une équation du type x2 + y 2 + ax + by + c = 0 est celle d'un cylindre d'axe parallèle à Oz (ou éventuellement l'ensemble vide5 ) 5 on peut dire aussi d'un cylindre imaginaire 10 Exemples : x2 + y 2 = 16 est l'équation du cylindre d'axe Oz et de rayon 4 ; y 2 + z 2 = 7 est l'équation du cylindre d'axe Ox et de rayon 7 ; l'équation du cylindre d'axe Oy et de rayon 3 est x2 + z 2 = 9 ; x2 + y 2 4x + 6y 3 = 0 s'écrit 2)2 + + 3)2 = 4 + 9 + 3 = 16 : c'est donc l'équation du cylindre de rayon 4 et d'axe parallèle à Oz et d'équations cartésiennes x = 2 et y = Intersection avec les plans de coordonnées : L'intersection d'un cylindre d'axe Oz avec un plan vertical (parallèle à Oz) et notamment avec les plans parallèles à xOz et yOz est soit l'ensemble vide, soit une droite soit deux droites parallèles à Oz. L'intersection d'un cylindre d'axe Oz avec un plan horizontal (orthogonal à Oz ou parallèle à xOy) est un cercle centré sur Oz et de même rayon que le cylindre Cône de révolution Soient et D deux droites sécantes en un point A. Par rotation autour de la droite D engendre un cône de révolution d'axe et de sommet A. [...]

[...] Exemple : Soit la surface d'équation z = x2 + y L'intersection de avec des plans parallèles au plan xOy, sont des courbes d'équations x2 + y = k donc des paraboles. L'intersection de avec des plans parallèles au plan yOz, sont des courbes d'équations z = y + k 2 donc des droites. L'intersection de avec des plans parallèles au plan zOx, sont des courbes d'équations z = x2 + k donc des paraboles. [...]

[...] La surface engendrée par une droite qui se déplace en s'appuyant sur la courbe C et en restant parallèle à la droite D s'appelle un cylindre de base C et de direction D. Exemple : si la courbe C est celle de la fonction sinus dans le plan xOy et si D est l'axe des cotes on obtient le cylindre ci-dessous. F IG Cylindre à base sinusoïdale Cas particulier : Si C est un cercle et si D est orthogonale au plan contenant alors le cylindre est dit de révolution (voir plus loin) Cônes Définition 2.2 Soient, dans l'espace, une courbe C et un point A non situé sur C. [...]

[...] Sections planes de surfaces Sections planes de surfaces 1 Fonctions de deux variables Lignes de niveau 1.1 Fonctions de deux variables Définition 1.1 Une fonction f à deux variables est une fonction qui, à tout couple ; de réels associe un réel noté f ; f : ; R2 f ; R Exemples : f ; = 2x2 3y 2 + xy 4 pour tous ; R2 f ; = x + y pour tous ; R ; x2 xy + y 2 f ; = pour tous ; R2 ; ; x(y 2 Remarque : en général on a f ; = f ; 1.2 Lignes de niveau Définition 1.2 Soit f une fonction à deux variables et k un nombre réel. Alors l'ensemble des points de coordonnées ; dans un repère ı, tels que f ; = k est soit l'ensemble vide, soit une courbe appelée ligne (ou courbe) de niveau de f . Une ligne de niveau peut être éventuellement réduite à un point, discontinue, réunion de plusieurs droites. [...]

[...] D est une génératrice de ce cône. L'angle π s'appelle le demi-angle au sommet du α que font entre elles les droites D et avec α 2 cône. z A α H M O K y x D F IG Cône de révolution x2 + y 2 = zA tan2 α 6 le plan est alors tangent au cylindre et la droite est une génératrice 11 Si est l'axe Oz, si le point A a pour cote zA , si M est un point quelconque de D distinct de de coordonnées et si l'on appelle H le projeté orthogonal de M sur Oz, alors on a tan(α) = d'où, en élevant au carré : x2 + y 2 = zA tan2 α qui est donc l'équation du cône d'axe Oz, de sommet A et de demi-angle au sommet α Réciproquement, toute équation du type x2 + y 2 λ2 a)2 = 0 est celle d'un cône d'axe Oz π tel et de sommet le point de Oz de cote a. [...]