Le second degré - publié le 18/06/2010

Résumé du document

Cours de Mathématiques présentant les polynômes du second degré : démonstration de la forme canonique, factorisation d'un polynôme de degré 2, résolution d'équation du second degré par la méthode du discriminant, tableau de signe et interprétation graphique des fonctions polynômes de degré 2.

Extraits

[...] On reconnaît une identité remarquable que l'on va factoriser. On obtient sous forme canonique. Cas général : Mise sous forme canonique d'un polynôme P. = + bx + c b = + a x + On met a en facteur pour que le coefficient de x soit 1. [...]

[...] + Si > l'équation a deux solutions x1 = et x2 = 2a 2a Si = l'équation a une seule solution double x0 = 2a Si Conséquence : On considère le polynôme = + bx + c : Si > P se factorise sous la forme : = a(x x1)(x x2) deux racines distinctes. Si = P se factorise sous la forme : = a(x une racine double ou deux racines confondues. [...]

[...] Exemples : = + 8x 9 et = - + x + sont des polynôme du second degré Différentes formes d'un polynôme Le polynôme peut s'écrire sous plusieurs formes : Forme développée : = + 8x 9 Forme factorisée : = + Forme canonique : = + 25 On appelle forme canonique d'un polynôme du second degré toute écriture où la variable x n'apparaît qu'une seule fois. Exemple : On veut mettre sous forme canonique = + 8x 9. = + 8x 9 = + 2 4 x 9 = + 2 4 x + 9 = + + 16 9 = + - 25 On fait apparaître une expression du type 2ab On rajoute/enlève un + pour pouvoir factoriser. [...]

[...] Si Méthode : Comment factoriser un polynôme du second degré ? On considère le polynôme = 3x qu'on souhaite factoriser On résout l'équation 3x 9 = 0 = 4ac = - 4 2 = 9 + 72 = 81 donc donc = 0 admet deux solutions réelles : + x1 = x2 = 2a 2a 3+9 x1 = x2 = x1 = x2 = x1 = 3 x2 = 2 P peut donc s'écrire = a(x x1)(x x2) donc = 2(x + 1ère ES 3/5 Chapitre 4 SECOND DEGRE Cours IV Signe d'un polynôme de second degré Rappel : Le signe d'un produit est déterminé par le nombre de facteurs négatifs Si ce nombre est pair, alors le produit est positif. [...]

[...] b 2 = + + b 2 = + b 2 Propriété : La forme canonique d'un polynôme = + bx + c est = + 1ère ES 1/5 Chapitre 4 SECOND DEGRE Cours II Factorisation d'un polynôme du second degré Polynôme du type = + bx Le polynôme = + bx se factorise de façon évidente sous la forme = x(ax + Exemple : = + 5x = x(3x + Cas général : = + bx + c b 2 Utilisons la forme canonique : = + b 4ac Considérons : + comme la différence de deux carrés. (cf : identité remarquable Pour alléger les écritures, on pose = 4ac, qu'on appelle le discriminant. b 2 D'ou = + 1er cas : Si [...]