Systèmes hyperboliques et équations de transport

Résumé du document

Rappel : Avec la méthode des différences finies, le domaine du problème est discrétisé. Les différentes dérivées sont approximées par un développement de Taylor adapté à la précision désirée. La précision du schéma numérique va dépendre du nombre de points retenus pour approximer une dérivée donnée.

Extraits

[...] et sont les pas en espace et en temps. t=0 On veut calculer les valeurs de en tous ces points. On utilisera dorénavant des notations plus courtes : Dans la suite, nous présentons cinq schémas de différences finies pour approcher la solution u(x). II. Les schemas d'ordre 1 Le Schéma FTCS (Forward Time Centered Space) Illustration schéma FTCS Rappelons l'équation dans notre cas particulier : Tous les schémas que nous allons voir peuvent s'étendre au cas où est non linéaire. [...]

[...] De plus, cette condition définit une zone de stabilité pour le schéma de Lax. Nous pouvons à présent nous demander pourquoi nous avons obtenu un premier schéma FTCS qui n'est jamais stable et un schéma de Lax, qui sous certaines conditions, admet une zone de stabilité. Remarque : Nous pouvons réécrire le schéma de Lax de façon à faire apparaître le schéma FTCS En effet, dans le schéma de Lax l'approximation de la dérivée de u par rapport au temps est : L'équation d'évolution s'écrit alors en terme de différences finies : Le terme est un terme de diffusion qui stabilise le schéma FTCS. [...]

[...] C'est l'accumulation des petits pas de temps donne ce caractère instable. Il faut donc modifier le schéma. Le Schéma de Lax Dans la discrétisation en temps et en espace, on va utiliser seulement les valeurs à droite et à gauche mais plus la valeur centrale : Celle-ci, qui intervenait dans le calcul de la dérivée par rapport au temps, est remplacée par la moyenne des valeurs à droite et à gauche : Illustration du schéma de Lax : Forme du schéma numérique : On regroupe les différents termes : Cette équation peut être exprimée sous forme matricielle : Soit L cette matrice de passage de à . [...]

[...] Finalement, on voit bien l'importance du choix de pas de temps dans la simulation numérique des lois de conservation. Le schéma upwind La terminologie, inspirée de l'anglais, rappelle le fait que la dérivée en espace a été décalée dans la direction d'où provient le vent (ou le courant). Le schéma upwind s'écrit de la façon suivante : Si la vitesse est constante Sinon en général. L'intuition physique de ce schéma montre qu'il faut utiliser le présent, parce qu'il apporte de meilleures propriétés de stabilité. Nous retrouvons aussi dans ce schéma la condition CFL. Application en TP : i. [...]

[...] Systèmes hyperboliques et équations de transport Projet d'analyse numérique, évolution Master 1ère année MIDO mention MMD Rappel : avec la méthode des différences finies, le domaine du problème est discrétisé. Les différentes dérivées sont approximées par un développement de Taylor adapté à la précision désirée. La précision du schéma numérique va dépendre du nombre de points retenus pour approximer une dérivée donnée. I. L'équation d'évolution et les conditions limites Rappel: L'équation d'évolution s'écrit : Dans le cas le plus simple, la fonction f est linéaire, ( : vitesse de propagation) On obtient la solution connue : où est la donnée initiale . [...]