Rudiments de logique et de théorème des ensembles

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Rudiments de logique mathématique, théorème des ensembles, connecteurs logiques, quantificateurs, produit cartésien, opérations sur les ensembles, propositions mathématiques

Résumé du document

Ce document se propose de traiter la question des rudiments de logique ainsi que le théorème des ensembles en mathématiques. Ainsi, un ensemble est une collection d'objets. L'ensemble vide est l'unique ensemble qui ne contient aucun élément. Un ensemble qui ne contient qu'un seul élément est appelé un singleton. En général, on note les ensembles par des lettres majuscules (A,B,E) et les éléments par des lettres minuscules (a,b x). On dit que deux ensembles A et B sont égaux s'ils contiennent exactement les mêmes éléments.

Extraits

[...] Cas particuliers : Soit E un ensemble. Soit . Alors : . II. Notions de logique A. Généralités Définition : Une proposition est une phrase qui a un sens et qui peut être vraie ou fausse. B. Connecteurs logiques Définition : Soit une proposition. La proposition est la proposition qui est vraie si et seulement si est fausse. Définition : Soit et deux propositions. est vraie si et seulement si est vraie et est vraie. est vraie si est vraie ou si est vraie. [...]

[...] Rudiments de logique et de théorème des ensembles I. Les ensembles Définition : un ensemble est une collection d'objets. A. Appartenance, inclusion Définition : « Soit un ensemble et un élément. Le fait que appartienne à l'ensemble se note ». Le fait qu'il ne lui appartienne pas se note . Définition : L'ensemble vide est l'unique ensemble qui ne contient aucun élément. On le note . Notation : Un ensemble qui ne contint qu'un seul élément est appelé un singleton. [...]

[...] Théorème : Soit et deux propositions. La proposition est équivalente à . C. Quantificateurs Les quantificateurs servent à construire des propositions dépendant : d'une ou plusieurs variables à certains ensembles. Vocabulaire : Les phrases « » s'appellent des propositions universelles. Les phrases « » s'appellent des propositions existentielles. Remarques : Les quantificateurs ne se placent qu'avant les propriétés. Les quantificateurs ne se placent pas dans une phrase en français. Propriété : est équivalent à Propriété : est équivalent à . [...]

[...] Soit et deux ensembles. On a : . B. Opérations sur les ensembles Définition : Soit et deux ensembles. L'union de et , notée est l'ensemble des éléments qui appartiennent à ou à . Définition : Soit et deux ensembles. L'intersection de et , notée , est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à et à . Définition : Soit et deux ensembles. La différence de et , notée , est : . Notation : Si et sont des ensembles tels que , on dit que et sont disjoints. [...]