Fiches de révision de Mathématiques - Terminale S

Résumé du document

Equation différentielle de la forme y'=ay
Théorème : Soit a appartement à R, l'équation différentielle, y'=ay a pour solution toutes (...)

Extraits

[...] = (y0 + b/a)(eax /eaxo) b/a = (y0 + ea(x-x0) b/a Fonction exponentielle On va rechercher, toutes les fonctions dérivables sur R telles que x et y appartiennent à R : Théorème : Soit f une fonction dérivable sur non nulle vérifiant l'équation fonctionnelle pour tout x et y appartenant à R : et puis f'=kf avec k un réel. Démonstration : f n'est pas une fonction nulle donc il existe un réel xo tel que D'après l'hypothèse f(xo+0)=f(xo)f(0) soit f(xo)=f(xo)f(0). Donc f(0)=1. f'=kf : Théorème et définition : Il existe une unique fonction dérivable sur R vérifiant et f'=f. [...]

[...] Lim ln(x)=0 en donc x=0 est une asymptote verticale. Lim en Lim en car elle admet une branche parabolique de direction asymptotique l'axe des abscisses en Lim en 0 Démonstration: Lim en si x>eM alors ln(x)>M donc ln(x) appartiendra a Par conséquent, Lim en 0 Propriétés algébriques: ln(ab)=ln(a)+ln(b) ln(a/b)=ln(a)-ln(b) lnap=p[ln(a)] avec p appartenant a Z lim xln(x)=0 en 0 Démonstrations: ln(ab)=ln(a)+ln(b), eln(ab)=eln(a) x eln(b)=ab donc ln(ab)=ln(a)+ln(b) ln(a)=ln(ab/b)=ln(a/b)+ln(b) donc ln(a/b)=ln(a)-ln(b). lnap=p[ln(a)] avec p appartent a ln(a)p=ln(a le nombre de fois de Dérivée et sens de variation: La fonction ln(x) est dérivable sur ; et sa dérivée est ln'x=1/x avec x appartenant a ; Dans le cas général, [ln(u)]'=u'/u. [...]

[...] Démonstration : [(sin = [sin sin / x or Lim [sin sin / x = cos 0 soit 1 en Méthode du conjugé : Consiste a multiplier en haut et en bas par le numérateur ou dénominateur en changeant le signe au milieu. Opérations des limites: fonction f fonction g f+g ℓ ℓ ℓ + ℓ' ℓ ℓ fonction f fonction g f/g ℓ ℓ≠0 ℓ/ℓ' FI ℓ 0 fonction f fonction g fg ℓ ℓ' ℓ ℓ' ℓ ℓ 0 ℓ 0 ℓ 0 ℓ 0 ℓ 0 ℓ a alors appartient a I de même pour x>b alors appartient a I. [...]

[...] Or Conséquences : exp'(x)=exp(x) pour tout x appartenant a R exp(0)=1 Théorème : Pour tout x et y appartenant a R exp(x+y)=exp(x)exp(y) Démonstration : comme Y'(x)=[u'v-v'u]/v² le nombre d'en haut est égal a 0 donc Y'(x)=.0 Donc est une constante pour x appartenant a R et y quelconque. En particulier si alors [1exp(y)]/1=exp(y) Conséquences : exp(x)>0 pour tout x appartenant a R Démonstration : x=exp(x) On raisonne par l'absurde : on suppose donc que x=exp(x) s'annule au moins une fois. Il existe un réel a tel que exp(a)=0, exp(x+y)=exp(x)exp(y) d'où exp(x)=exp(x-a+a)=exp(x-a)exp(a) or exp(a)=0 donc exp(xa)exp(a)=0. C'est donc absurde la fonction exponentielle ne s'annule pas. [...]

[...] Propriétés des limites : lim en lim en Donc la droite d'équation y=0 est asymptote a Cf en lim en lim xe(x)=0 en La fonction exponentielle l'emporte toujours sur les limites. Démonstration : Lim en on pose Lim en on pose puis on calcule Lim en Lim xe(x)=0 en on pose ca donne lim-Xe(-X) en en car lim en Propriété approximation affine avec x VOISIN de 0 : ce qui permet d'affirmer que lim[exp(x)-1]/x=1 en 0. Sans oublier que x est voisin de 0. Propriété dérivée de la fonction avec en exposant : Soit u est dérivable sur et avec x appartenant a I. [...]