Fiche de révision de Mathématiques niveau Licence.
Sommaire
I) Fonctions de plusieurs variables
A. Représentation géométrique B. Continuité C. Dérivées partielles D. Différentielles totale E. Interprétation économique F. Dérivées d'ordre supérieur G. Théorème des fonctions implicites H. Applications aux fonctions de production et d'utilité
II) Matrices
A. Algèbre des matrices B. Forme échelonnée et rang d'une matrice C. Inverse d'une matrice, méthode de Gauss-Jordan D. Retour sur les applications : gradient, hessienne, matrice jacobienne
III) Déterminants
A. Définition B. Propriétés et méthodes de calcul C. Applications (méthode de Cramer, fonctions implicites)
IV) Formes quadratiques
A. Généralités B. Signe d'une quadratique C. Signe d'une quadratique sous contrainte
V) Formule de Taylor et optimisation libre dans IR
A. Approximation polynominale B. Formule de Taylor C. Optimisation libre dans IRn : condition nécessaire, conditions du second ordre D. Exemples en économies
VI) Optimisation sous contrainte
A. Contraintes prenant la forme d'équations B. Contraintes prenant la forme d'inéquations C. Conditions de Kuhr ? Tucker D. Applications: la théorie néo-classique du consommateur E. Interprétation des multiplicateurs de Lagrange F. Conditions du second ordre G. Exemple d'applications : les optima au sens de Pareto
VII) Fonctions concaves et convexes
A. Définition et propriétés équivalentes B. Critères de concavité et convexité C. Propriétés des fonctions concaves : application aux problèmes d'optimisation D. Fonctions quasi-concaves et quasi convexes
I) Fonctions de plusieurs variables
A. Représentation géométrique B. Continuité C. Dérivées partielles D. Différentielles totale E. Interprétation économique F. Dérivées d'ordre supérieur G. Théorème des fonctions implicites H. Applications aux fonctions de production et d'utilité
II) Matrices
A. Algèbre des matrices B. Forme échelonnée et rang d'une matrice C. Inverse d'une matrice, méthode de Gauss-Jordan D. Retour sur les applications : gradient, hessienne, matrice jacobienne
III) Déterminants
A. Définition B. Propriétés et méthodes de calcul C. Applications (méthode de Cramer, fonctions implicites)
IV) Formes quadratiques
A. Généralités B. Signe d'une quadratique C. Signe d'une quadratique sous contrainte
V) Formule de Taylor et optimisation libre dans IR
A. Approximation polynominale B. Formule de Taylor C. Optimisation libre dans IRn : condition nécessaire, conditions du second ordre D. Exemples en économies
VI) Optimisation sous contrainte
A. Contraintes prenant la forme d'équations B. Contraintes prenant la forme d'inéquations C. Conditions de Kuhr ? Tucker D. Applications: la théorie néo-classique du consommateur E. Interprétation des multiplicateurs de Lagrange F. Conditions du second ordre G. Exemple d'applications : les optima au sens de Pareto
VII) Fonctions concaves et convexes
A. Définition et propriétés équivalentes B. Critères de concavité et convexité C. Propriétés des fonctions concaves : application aux problèmes d'optimisation D. Fonctions quasi-concaves et quasi convexes
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Extraits
[...] on soumet à A n contraintes linéaires: 𝑥1 la matrice des Bij. Les contraintes, elles s'écrivent B . 𝑥𝑛 derniers mineurs diagonaux principaux de S'ils sont tous de même signe que la forme quadratique associée, est définie positive sous les contraintes. S'ils alternent en signe positif, négatif, le dernier, c'est-à-dire, (det étant du signe de alors, la forme quadratique associée est définie négative sous les contraintes. Dans tous les autres cas, avec des mineurs diagonaux non nuls, la forme quadratique associée est indéfinie. [...]
[...] On peut définir alors Cp, comme la fonction p fois continument dérivable. Théorème: Schmartz (ordre de dérivation) Si f est alors l'ordre des dérivations n'a pas d'importance 𝑖 𝑗 = 𝑗 𝑖 . VI Théorème des fonctions implicites Théorème: Fonctions implicites C1, on regarde l'équation = cste, soit une solution de si (x0;y0) alors il existe une fonction g définie sur un intervalle contenant x0, avec I tel que: = cste y = cste g(x0) = y0 g'(x0) = (𝑥 0 ;𝑦0 ) (𝑥 0 ;𝑦0 ) Démonstration: Fonctions implicites = cste, on dérive tout par rapport à x 1 + x g'(x) = cste. [...]
[...] Propriété: Différentielle & Dérivées Partielles Si Rn R est différentiable en a alors elle admet des dérivées partielles vérifier à tous les x i en a. Les coefficients de daf(xi) sont les dérivées partielles de f en 𝑖 Autrement dit, daf: Rn 1 h1 + . + 𝑛 hn. Remarque: Dans la pratique, on calculera daf à l'aide des dérivées partielles. Démonstration: Différentielle & Dérivées Partielles conclure que α1 = 1 𝑓 𝛼 1 1 ;𝑎 2 ; ;𝑎 𝑛 −𝑓(𝑎) = α1. [...]
[...] II Continuité des fonction de plusieurs variables Schématisation, un ensemble à 3D, le point x est il continue ou pas ? Définition: Continuité dans toutes les directions Pour que c soit un point continue, il faut que la limite en x de toutes les directions vers x soient égalles. Propriété: Distance vecteur La longueur d'un vecteur aussi appelé, distance est noté 𝑥𝑦 = = coordonnés respectifs, x = et y = ;yn). On appelle ça aussi, distance euclidienne dans Rn. [...]
[...] 𝑛 Remarque: a = représente les quantités au points des variables de la fonction avant la variation et quantités. Rappel: (FoU)' = f'(u) u'. ∆𝑥 ∆𝑥𝑚 représente les variations des Démonstration: Dérivation en chaine de la matrice jacobienne Rn f(x1; on suppose que les xi sont paramétrés par rapport à donc 𝑑𝑓 𝑑𝑡 = 1 x'(t) + . + 𝑛 x'(t). Maintenant, si on prend Rn Rm et on suppose que les xi sont paramétrés par rapport à 𝑥1 𝑞1 𝑡 𝑈 . [...]
