Résumé d'un cours de probabilités statistiques

Thèmes abordés

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Résumé du document

1. Loi continue
Pour la valeur x d'une variable aléatoire continue X , on notera par :
f (x) la densité de probabilité en x
F(x) la fonction de répartition correspondante où
F(x) [X x] f (x) dx
x ∫ -¥
= Pr £ =
2. Loi discrète
Pour la valeur x d'une variable aléatoire discrète X pouvant prendre
les valeurs ordonnées x1, x2 ,K, xi ,K
avec les probabilités p1, p2 ,K, pi ,K, où 1
1
= Σ
¥
pi ,
on notera la fonction de répartition par :
( ) [ ] Σ
=
= £ =
i
k
F xi X xi pk

Extraits

[...] Propriétés Var ( X ) = E X 2 E [ ] Soit k une constante, on V ] = 0 V + X ] = V ] V [kX ] = k 2V ] , par exemple si k = alors V X ] = ] Etant donné deux variables aléatoires indépendantes X et Y , on a : V + Y ] = V ] + V ] II. LOIS, PROPRIETES ET APPROXIMATIONS A. Lois discrètes 1. Loi de Bernouilli La variable aléatoire X ne peut prendre que 2 valeurs, par exemple 0 et 1 (ou échec et succès), avec les probabilités p[X = = q et p[X = = p = 1 q . [...]

[...] Recherche d'un estimateur : Méthode du maximum de vraisemblance 1. Fonction de vraisemblance L(x x2 xn , µ ) Cas continu L(x x2 xn , µ ) = f , µ) , ou i i n f ( xi , µ ) est la fonction densité de la loi utilisée, de paramètre µ dont on recherche un estimateur. Cas discret L(x x2 xn , µ ) = pr ( X i n i = xi ) 2. Estimateur du maximum de vraisemblance C'est la (les) solution(s) µ obtenue(s) en posant : log L = Si on trouve plusieurs solutions, il convient de dériver une seconde fois par rapport à µ pour trouver quelle solution correspond à un maximum, c'est à dire quand 2 log L 2 [...]

[...] T = X X i2 suit une loi Tn (Student à n degrés de liberté). n 7. Loi de Fisher-Snédecor Fν1 ,ν 2 x Généralités E ] = ν2 ν2 2 Propriété 2 Loi du khi-deux et loi de Fischer. Soient deux variables aléatoires indépendantes: X 1 qui suit χ ν et X 2 qui 2 suit χ ν La V.A. définie par X = X 1 ν1 suit une loi Fν1 ,ν 2 (Fisher-Snédecor à ν1 et ν 2 degrés de liberté). [...]

[...] Déroulement d'un test Hypothèses Le test consiste à trancher entre 2 hypothèses: H l'hypothèse nulle, et H l'hypothèse alternative ( H1 = H 0 Statistique de test la fonction statistique liée au test qui servira a choisir quelle hypothèse retenir. Loi de la statistique de test sous H 0 Il s'agit de la loi de la statistique choisie précédemment, soumise aux conditions de H 0 Région critique C'est l'intervalle de valeur de notre statistique de test où l'on rejette H 0 Résolution On calcule les bornes de la région critique Conclusion On peut finalement conclure, si les données observées sont en région critique qu'on rejette H sinon qu'on rejette H spèce α = 0,05 . [...]

[...] Attention aux notations, surtout lors des estimations : x concerne les valeurs observées, alors que X concerne les valeurs théoriques (qui suivent absolument une loi). Cette notation est respectée dans tous ce document, mais ne l'est pas toujours ailleurs ˆ x est une estimation c'est à dire est calculé à partir de l'échantillon. ˆ X est un estimateur c'est une valeur théorique. De même, x signifie "moyenne observée" (calculée à partir de données brutes), et X signifie "moyenne théorique" (qui suit une loi). A. [...]