Restitutions organisées de connaissances : enseignement obligatoire de Mathématiques

Résumé du document

Toutes fonctions dérivables est continue, réciproquement fausse (...)

Extraits

[...] f ( x ) > 0 e x x co m m e lim x = alors lim e x = x x 10) lim e x = 0 x Dém : on prend X = - x ; lim e x = lim e X = lim x X X 1 eX 11)Si u est une fonction dérivable sur I alors e u est dériva ble sur I e t ( e u ) ' = u ' e u Dém : on sa it q ue ( gof ) ' = g ' ofxf ' et e u = exp u donc ( e u ) ' = (exp u ) ' = e u u ' ex = x x 12) lim défini sur [ , calcul de ϕ x ) et ϕ x signe de ϕ x ) 2 Pour trouver le signe de ϕ x ) on calculera ϕ si ϕ > 0 alors f est sinon Dém : ϕ ( x ) = e x sur l'intervalle donc e x ex x x ex or lim 0 ex > = alors lim = x 2 x x x 2 13) lim xe x = 0 x Dém: lim xe x x 1 x x = lim x = lim e = 0 x e x x 14)z = z Dém : z = a + ib d'où z = a + ib = a - ib = a + ib + z ' = z + z ' Dém : z = a + ib et z ' = a ib ' d'où z + z ' = + ib ) + ib = a + a i + b = a + a ib ib ' = ib ) + ib = + ib ) + ib 16)Toutes fonctions dérivables est continue, réciproquement fausse. [...]

[...] = ln a ln a . [...]

[...] Les parties à p éléments de 2 catégories : *pas a : p n *il y a a : d'où p 1 p p p ( n ( n ( n p ) ( n p Dém 2 : + = + p p p p p 1 p p n 1 p ( p p = p n p p o rm u le d e s p ro b a b ilité s to ta le s D é m : P ( B ) = P B A1 ) ( B A 2 ) ( B A 3 P(A a lo rs P ( B ) = P ( A1 ) xPA1 ( B ) + P ( A 2 ) xPA2 ( B ) + P ( A 3 ) xPA3 ( B ) o n d itio n n e m e n t e t in d é p e n d a n ce : D é m : A B = P ( A B ) = P ) = 0 O n m o n tre q u e P ( A B ) = P ( A ) xPA ( B ) = P ( B ) xPB ( A ) PA ( B ) = P(A P A ) e t PB ( A ) = a lo rs P ( A B ) = P ( B A ) P ) o r P ( A B ) = PA ( B ) xP ( A ) e t P ( B A ) = PB ( A ) xP ( B ) PA ( B ) = d o n c P ( A B ) = P ( A ) xPA ( B ) = P ( B ) xPB ( A ) z - zB ) E xp lo ita tio n d e Z = a r g A zC - z D r uuur r uuur r uuur uuur r z - zB D é m : a rg Z = a rg A = a rg ( z A - z B ) - a rg ( z C - z D ) = ( u ; B A ) - ( u ; D C ) = ( u ; B A ) + ( D C ; u ) zC - z D uuur r r uuur uuur uuur = C ; u ) + ; B A ) = C ; B A ) ' ω = e iα ( z ω ) z ω ω = z ' ω z ω = 1 D ém : a rg z ω = α z ω = 1e i α z ' ω = e i α ( z ω ) z ' = e i α ( z ω ) + ω Z = q u a tio n p a ra m é triq u e d n ce rcle : z = ω + R e iθ D é m : M = Ω M = R z - ω = R z ω = R e iθ z = ω + R e iθ e n s d e v a ria tio n d e ln D é m : si a [...]

[...] = n ln a = p ln a a = ln a 2 ln a = ln a ln a = ln a 4 s i p = , a = a ln ln a 2 = ln a si p / ) ( ) lim l n x = + x D é m : s i x + , x > e A a v e c A trè s g ra n d l n x > ln e A d o n c li m ln x = + x ) li m + ln x = D é m : lim + ln x , o n p o s e X = s i x 0 + a lo rs X + e t x = x X 1 lim ln x = lim ln ln X = = Xlim X X x 3 ( ln x ) ' = 1 x D é m : e ln x = x ( ln x ) ' e ln x ( ln x ) ' x ( ln x ) ' = 1 x ln + x ) x ln + x ) ln + 0 ) ln + x ) = lim+ = f 0 ) = 1 D é m : li x x je p o s e f ( x ) = ln + x ) ) lim+ f ) = ln + 0 ) = f x ) = x f ) = 1 d o n c lim+ ln + x ) x i u n e fo n c tio n f e s t c o n tin u e s u r u n in te rv a lle e t s i a e s t u n p o in t d e a lo rs la x fo n c tio n F te lle q u e F f(t)d t e s t l'u n iq u e p rim itiv e d e f s u r I s n n u la n t e n a . [...]

[...] a a f ( t t D é m : f s n n u le e n a : F ( a ) = = 0 a x0 + h F (x0 + h ) F (x0 ) = h hf (x0 ) x0 + h f ( t t a x0 f ( t t a h a x0 + h x0 a f ( t t + = f ( t t h f ( t ) d t h f ( x 0 + h ) d iv is e p a r h , d p rè s le th é o rè m e d e s g e n d a rm e s x0 lim F (x0 + h ) F ( x0 ) = f ( x 0 ) d o n c F x ) = f ( x ) e t F e s t u n e p rim itiv e d e f. [...]