Résolutions de problèmes concrets à l'aide de suites numériques

Thèmes abordés

Sciences - Ingénierie - Industrie, Résolutions mathématiques, problèmes concrets, suites numériques, interprétation des résultats, superficie d'une plantation, distance, rebonds, taux de croissance démographique, amortissement de capital, prêt bancaire

Résumé du document

Les suites constituent un outil puissant qui permet la résolution de problèmes relevant de phénomènes discrets aussi variés que la variation d'une population d'individus, la constitution ou l'amortissement d'un capital… Pour résoudre de tels problèmes, nous procéderons suivant les étapes ci-dessous :
1) la modélisation du problème, qui consiste ici à rechercher une suite permettant de décrire la situation ;
2) la résolution mathématique du problème ;
3) l'interprétation des résultats obtenus mathématiquement, d'où la solution du problème posé.

Extraits

[...] •Exemple 3 Une balle rebondit en avançant chaque fois d'une longueur égale à la moitié de la précédente. Sachant que le premier bond mesurant 1 quelle est la distance parcourue au bout de 10 rebonds ? Recherche d'une suite permettant de décrire la situation Désignons par vn la longueur du nième bond. On a : vn+1=½vn ; La suite v ainsi définie est donc une suite géométrique de raison ½. Calcul de la distance S parcourue après 10 rebonds On a : S=v1+v2+v3+v4+v5+v6+v7+v8+v9+v10= (0,5)10–1/0,5–1v1=1,998. Au bout de dix rebonds, la balle aura parcouru environ 2 m. [...]

[...] Calculons la superficie totale de la plantation au bout de six années. Recherche d'une suite permettant de décrire la situation Désignons par un la superficie (en hectare) défrichée la nième année. On a : u1=2 et un +1=un +1,5. Les superficies défrichées année après année sont déterminées par la suite arithmétique u de premier terme 2 et de raison 1,5. Calcul de la superficie S défrichée au bout de 6 ans On a :S=u1+u2+u3+u4+u5+u6 ; u6=u1+5×1,5;u1=2 donc:S=6×[2u1+5×1,5]/2=34,5. Le jeune planteur aura mis en valeur 34,5 hectares au bout de six années. [...]

[...] Calculer le montant de ces paiements annuels. Posons : u0= 000 ; désignons par un la somme que M. Acquah doit à la nième année et x le montant fixe de ce paiement annuel. Capital + intérêt échéance u0= année 0 u1=1,14u0 année 1 u2=1,14(u1–x) année 2 u3=1,14(u2–x) année 3 u4=1,14(u3–x). année 4 Capital restant dû échéance année 0 u1–x année 1 u2–x année 2 u3–x année 3 u4–x=0 année 4 u4–x=0 ←→ 1,14(u3–x)–x=0 ←→1,14×[1,14(u2–x)–x]–x=0 ←→1,14×[1,14[1,14[1,14(u1–x)–x]–x]–x=0 ←→1,14×[1,14[1,14(1,14u0–x)–x]–x]–x=0 En développant, on a:1,144u0–x(1,143+1,142+1,14+1)=0 donc x=1,142u0/1,143+1,142+1,14+1= 819,13. [...]

[...] Population en 2009 dans le pays B v10=(1,03) 10× 000= Nombre n d'années nécessaires pour que la population de B double. Résolvons dans IR l'équation suivante : x× 000= x=2 xln(1,03)=ln2 x=ln2/ln Or : 24 [...]

[...] Quelle somme d'argent l'entreprise doit-elle prévoir pour remplacer le véhicule dans cinq ans ? Recherche d'une suite permettant de déterminer la valeur du véhicule d'année en année Posons : u0= 000 ;, désignons par un la valeur du véhicule après n année(s) (n≥1). On a:u1=u0-0,2u0=u0(1–0,2)=0,8 u0. un+1=un–0,2 un=0,8 un. Les nombres réels un sont les termes d'une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme Donc: n u0. Valeur du véhicule après 5 ans 5× 000= Recherche d'une suite permettant de déterminer la valeur du véhicule neuf d'année en année Posons:v0= 000 ; désignons par vn le prix du véhicule neuf après n année(s) (n≥1). [...]