Résolution des systèmes linéaires : méthode du pivot de Gauss

Résumé du document

Cours de Mathématiques avec exercices corrigés sur la résolution des systèmes linéaires et la méthode du pivot de Gauss. Il contient à la fois définitions, théorèmes, exemples et exercices corrigés pour comprendre et pouvoir échelonner un système linéaire et le résoudre par la suite.

Extraits

[...] Résolution des systèmes linéaires par opérations élémentaires sur les lignes Méthode du pivot de Gauss Dans tout ce document Ï est un des corps Í, Ë ou Ê. Í : ensemble des rationnels Ë : ensemble des nombres réels Ê : ensemble des nombres complexes 0. Rappels On appelle équations linéaires dans Ï toute équation de la forme a1x1 + a2x2 + . ap x p = b Les xi Ï sont les inconnues, les ai Ï, b Ï sont les coefficients de l'équation ( indépendants des xi ) et b est appelé le second membre de l'équation. [...]

[...] Le rang r du système échelonné est le nombre de lignes non nulles. les r inconnues xj xjr "associés" aux pivots sont appelées inconnues principales, les autres sont les inconnues secondaires Exercice : Donner le rang et le nombre d'inconnues principales et secondaires des systèmes précédant Solution : : si a = la dernière ligne est nulle et le rang vaut 3. Il y a 3 inconnues principales et 0 inconnue secondaire. : - si a le rang vaut 3. [...]

[...] - si a = le rang vaut 2. Il y a 2 inconnues principales et 1 inconnue secondaire. : le rang vaut 2. Il y a 2 inconnues principales et 2 inconnues secondaires. Théorème Deux systèmes linéaires échelonnés équivalents ont le même rang Résolution La compatibilité du système est déterminée par l'observation des n r dernières lignes. [...]

[...] Exercice : Résoudre le système : 3x + 2y + 3z + 2t = 5a 3y z - t = 1 2z + 8t = 4 0 = 1 a Solution : - Si a le système est incompatible 3x + 2y + 3z + 2t = 5 3y z t = 1 - Si a = on a : z = 2 4t a = 1 3x + 2y + 3z + 2t = 5 3y 2 + 4t - t = 1 z = 2 4t a = 1 3x + 2y + 3z + 2t = 5 z = 2 4t a = 1 x = 4t 1 z = 2 4t a = Triangularisation par la méthode du pivot Opérations élémentaires sur les lignes d'un système linéaire Définition On appelle opération élémentaire sur les lignes d'un système linéaire, chacune des trois opérations suivantes : Echange de deux lignes : Li Lj Multiplication d'une ligne par k 0 : Li kLi Ajout d'un multiple d'une autre ligne : Li Li + kLj, Théorème Toute opération élémentaire transforme un système linéaire en un système équivalent La méthode du pivot de Gauss Théorème est équivalent à un système échelonné de la forme : a 11 x i 1 + a 12 x i 2 + . a 1 r x i r + . a 1 p x i p = b 1 a 22 x i 2 + . a 2 r x i r + . a 2 p x i p = b arrxir + . [...]

[...] S'il est compatible, on considère les inconnues secondaires comme des paramètres (on a alors p r paramètres) et on les fait passer dans le second membre .Puis, on résout le système en commençant par calculer xjr dans la dernière équation et en remontant. Si alors la solution est unique si elle existe. Si le système est dit de Cramer, il 4 y a une et une seule solution. Donc l'ensemble des solutions peut-être vide, contenir un unique élément ou une infinité paramétré à l'aide de inconnues secondaires. [...]