Equations différentielles linéaires scalaires du premier ordre

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Licence sur la résolution des équations différentielles linéaires scalaires du premier ordre : solutions de l'équation homogène associée, théorème de Cauchy et problèmes de recollement des solutions.

Extraits

[...] Si y est de classe C sur il est inutile de vérifier l'équation différentielle en ξ. En effet, pour tout x de I1 et I on écrit que α(x)y + β(x)y(x) = γ(x) et on passe à la limite x tend vers ξ ; on obtient β(ξ)y(ξ) = γ(ξ) et l'équation différentielle est vérifiée en ξ Raccordement en un point On résout sur chacun des intervalles I1 = ] ξ[ I et I2 = I. Sur ces intervalles, peut être normalisée en divisant par α. [...]

[...] La formule s'écrit alors K = B1 On en déduit que la fonction K est définie sur I par K : x B1 + C où C est une constante de K. Il en résulte que la fonction y est une solution de sur I si et seulement si y est de la forme y : x B1 avec C dans K. + Ce Remarque : On retrouve ainsi que S = {B1 , C = f0 + S f0 h0 On sait déjà que e est solution de Le calcul explicite de la dérivée de , qui disparaît en fin de calcul, est donc inutile, et parfois fastidieux. [...]

[...] I Définitions Définition I.1 Soit α, β et γ trois fonctions continues sur I à valeurs réelles ou complexes. On appelle équation différentielle linéaire scalaire du premier ordre une équation du type αy + βy = γ. La fonction γ est appelée second membre de Définition I.2 On appelle équation homogène , ou sans second membre , associée à l'équation différentielle αy + βy = 0. Définition I.3 Soit α, β et γ trois fonctions continues sur et J un intervalle de R inclus dans I. [...]

[...] On reprend les notations utilisées dans la méthode de variation de la constante. Les solutions de sur I1 sont de la forme y1 = f0,1 + K1 h0,1 avec K1 dans K. Les solutions de sur I2 sont de la forme y2 = f0,2 + K2 h0,2 avec K2 dans K. On cherche si on peut raccorder au point ξ les solutions trouvées. Pour que l'application y soit solution sur I de il faut et il suffit que : sa restriction à I1 soit solution de sur I1 donc de la forme y1 = f0,1 + K1 h0,1 avec K1 dans K ; sa restriction à I2 soit solution de sur I2 donc de la forme y2 = f0,2 + K2 h0,2 avec K2 dans K ; on ait lim y1 = lim y2 = = 2 et β(ξ) 1 = γ(ξ) ; + ξ ξ y2 2 y1 1 = lim+ = 2 et 1 = on ait Ces conditions supplémentaires peuvent imposer des contraintes et diminuer la dimension de l'espace des solutions sur I. [...]

[...] Soit f0 une solution de E sur I . L'ensemble S des solutions de sur I est un espace affine de dimension 1. C'est la droite affine de direction S0 la droite vectorielle des solutions de et notée S = f0 + S Démonstration : On applique le théorème I.5 et on en déduit que la connaissance de f0 élément de S et de S0 suffit pour obtenir toutes les solutions de On obtient alors S = {f0 + K e , K = f0 + S h0 Remarque : On voit ainsi que, connaissant les solutions de la résolution de se ramène à la détermination d'au moins une solution de qui sera qualifiée souvent de solution particulière ; toute solution de est en fait une solution particulière de On verra (théorème IV.1) qu'une telle solution existe toujours dans le cas d'une équation normalisée 2009-2010 III.2 Recherche d'une solution particulière de Les énoncés des problèmes sont à lire avec précision car ils permettent parfois de deviner des solutions particulières, par exemple polynomiales (voir l'exercice ou formées d'un polynôme multiplié par une exponentielle (cas d'une équation à coefficient constant vu en première année–voir l'exercice 3). [...]