Equation du cinquième degré : méthode de Ferrari et de Cardan

Résumé du document

Il est possible de trouver les racines d'une équation du cinquième degré en procédant par étapes.

Pour résoudre ce genre d'équations, il est préférable de se ramener préalablement à une équation du quatrième degré. Pour cela il existe différentes méthodes. Nous pouvons utiliser la méthode des tangentes de Newton ou procéder par dichotomie. Nous avons opté pour cette dernière.

Par la suite, la résolution des équations quartiques est possible en suivant ou bien la méthode de Ferrari ou bien la méthode de Descartes. La méthode de Descartes est basée sur des recherches de coefficients, elle est dite « par coefficients indéterminés ». Quant à celle de Ferrari, elle s'appuie sur l'écriture du monôme z4 que l'on peut remplacer par le polynôme : (z2+y)2-2yz2-y2 (...)

Extraits

[...] Il est le disciple de Cardan qui incorpore dans son ouvrage Ars Magna (1545) toutes les recherches de son élève. En ce qui concerne Cardant, on lui attribue quelques découvertes en physique, en chimie et en mathématiques. Il fut le premier à introduire des idées générales à la théorie des équations algébriques. [...]

[...] Identification des coefficients Calculons = x4 + B x3 + C x2+ D On développe et on trouve = Ax5 + Bx4 + Cx3 + Dx2 + Ex aAx4 aBx3 aCx2 aDx aE = x5 + x4 aA) + x3 aB) + x2 aC) + x aD) - aE Par identification des coefficients on trouve : A=1 -10+aA C = 9 + aB D = -20 + aC E = 1 + aD On a donc une équation du 4ème degré : x4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0 à résoudre. Méthode de Ferrari Posons x = X B/4 pour faire disparaître le terme de degré 3 de l'équation. [...]

[...] Supposons que nous voulions résoudre l'équation = 0. Nous savons d'après le théorème des valeurs intermédiaires que f doit avoir au moins un zéro dans l'intervalle b]. La méthode de dichotomie consiste à diviser l'intervalle en deux en calculant c = / 2. [...]

[...] Avec Δ = α) 1/2)2 - z(u α)1/2) Δ = 0.205969 On trouve X1 = u α)1/2 X1 = 0.0775454 D'où x1= 0.262565 Puis X2 u α)1/2 + X2 = - 0.376293 D'où x2= - 0.191273 Avec Δ = α) 2 + z(u α) Δ = - 8.15057 On trouve X3= α) 1/2 1/2 X3= 0.149373 1.427460 i D'où x3= 0.334393 1.427460 i Puis X4 = α) 1/2 + 1/2 X4= 0.149373 + 1.427460 i D'où x4= 0.334393 + 1.427460 i Valeurs des calculs intermédiaires trouvées avec wolframalpha A=1 - 0.7400793 2.146924 - 0.119651 - 0.107955 α = 1.941530 β = 0.624127 γ = - 0.060114 - 1.016050 - 1.242888 Δ = 0.347348 1.383603 2.03078 3.4965003 α = 0.089249 Vérification des racines : Wolframalpha trouve comme solutions de x1= 0.262612 x2= - 0.191313 x3= 9.259920 x4= 0.33439 + 1.427468 i x5= 0.33439 - 1.427468 i Les différences par rapport à nos racines trouvées par le calcul sont dues aux approximations que nous avons du effectuer afin de réaliser tous les calculs. On remarque cependant que nos racines ne divergent pas beaucoup de celles de wolframalpha. [...]

[...] On remplace dans et on obtient : 4 + 3 2 + E X4 X3 B + 3/8 X2 B2 + X -2B3) + 1/256*B4 + BX3 3X2 B2 + 3XB3/13 - B4/64 + CX2 CXB/2 + CB2 /16 + DX DB/4 + E = 0 Après simplification des calculs : X4 + X2 (-3B2/8 + + X (B3/8 CB/2 + (-3B4/256 + CB2/16 DB/4 + = 0 Pour faciliter les calculs on pose : α = -3B2/8 + C β = B3/8 CB/2 γ = -3B4/256 + CB2/16 DB/4 + E D'où X4 + αX2 + βX + γ avec β non nul. Avec X4 = -αX2 - βX - γ Introduisons u comme inconnue auxiliaire. Calculons (X2 + 2 = X4 + uX2 + u2/4 On peut donc écrire ainsi (en remplaçant X4 par l'égalité trouvée précédemment) : (X2 + 2 = -αX2 - βX γ + uX2 + u2/4 Soit (X2 + 2 = α) X2 βX + u2/4 γ avec u différent de α. [...]