Les ensembles ordonnés

Résumé du document

Cours de Mathématiques sur les ensembles ordonnés.

Extraits

[...] Si l'ordre d'un ensemble n'est pas total, on parle alors d'ordre partiel ou d'ensemble partiellement ordonné. Exemple : L'exemple a et l'exercice b du cours, sont d'ordre partiel L'exemple c suivant, est d'ordre total : Soit un ensemble = ℕ*5 et R la relation Diagramme de Hasse : ELEMENTS MAXIMAUX, MINIMAUX ; Plus grand et plus petit élément. Un élément d'un ensemble ordonné est maximal s'il ne possède pas d'autre majorant que lui même. [...]

[...] Diagramme cartésien représentatif de la relation d'ordre sur A : Page 3 HUITIEME PARTIE - ENSEMBLES ORDONNES DIAGRAMME DE HASSE Afin de mettre en évidence la hiérarchie d'un ensemble ordonné, on peut représenter sa relation d'ordre par une version simplifiée du diagramme sagittal : Diagramme de HASSE Sur le sagittal, on ôte les boucles qui correspondent à la réflexivité et toutes les flèches qui peuvent être trouvées au moyen de la transitivité. Exemple : a a b c b c SUCCESSEUR IMMEDIAT On dit alors que y est un successeur immédiat de x quand les 3 conditions suivantes sont réunies : x R y (flèche de x vers y est différent de x (pas de boucle) il n'existe pas d'éléments ℤ tel que x R et 2 R y (on ne peut pas aller de x à y par étapes) Exemples : Pour la relation ; 3 est le seul successeur immédiat de 2 Pour la relation de divisibilité a pour successeurs immédiats etc Pour dessiner un diagramme de Hasse, on procède donc de la sorte : - Les éléments de l'ensemble sont représentés par des points ; ils constituent les sommets du diagramme. [...]

[...] Une relation R sur un ensemble A est une relation d'ordre si et seulement si elle est : - Réflexive - Antisymétrique - Transitive Un ensemble muni d'une relation d'ordre est un ensemble ordonné. Exemple : Déterminer pourquoi la relation de divisibilité ' est une relation d'ordre sur ℕ* et pourquoi elle ne l'est pas sur ℤ Les relations ou sont des relations d'ordre sur ℕ Par contre ne le sont pas sur ℕ*, l'ensemble des entiers positifs non nuls, la relation de divisibilité définie par : a divise s'il existe un entier k tel que b = a.k x est une relation d'ordre ; on la note et on écrit par ex : 3 24 pour dire que 3 divise 24 = 24 divisé par 3 = 8 = k sur ℕ* : Réflexivité : Antisymétrie : Transitivité : a a est toujours vrai a b Car a=b (ex : avec b a a b b a Antisymétrie : a R b et b R a alors forcément a=b La relation est une relation d'ordre Page 1 HUITIEME PARTIE - ENSEMBLES ORDONNES ℤ : les entiers positifs et négatifs sur ℤ : Réflexivité : NON Antisymétrie : ℤ* : les entiers positifs et négatifs a a est toujours vrai a b b a 3 3 sauf 0 Le résultat est le même, mais a et b ne sont pas égaux Donc, non Antisymétrie (sur ℤ possibilité 3 ou Transitivité : ! [...]

[...] Sur le diagramme de Hasse, les éléments maximaux sont ceux d'où ne part aucune flèche. Sur le diagramme cartésien, la ligne qui correspond à un élément maximal contient juste une case noircie qui correspond à l'élément (sur diagonale) Exemple a = j Exercice b = 30 Exercice c = 5 Page 5 HUITIEME PARTIE - ENSEMBLES ORDONNES Minorant Minimal Sur le diagramme de Hasse Sur le diagramme Cartésien, la colonne Minimaux : sont ceux où aucune flèche n'arrive Exemple a = e Exercice b = 1 Exercice c = 1 Un élément x est le plus grand élément d'un ensemble ordonné A s'il majore tous les éléments de A. [...]

[...] Relation d'ordre Dans une entreprise organisée selon un modèle hiérarchique, le fait d'avoir une hiérarchie sur les éléments d'un ensemble, définit automatiquement, sur cet ensemble, une relation R : a R si a est sous les ordres de b Elle est antisymétrique car si a et b sont différents, et si a est sous les ordres de alors, b ne peut pas être sous les ordres de a. Elle est transitive car si a est sous les ordres de b et b sous les ordres de alors a est sous les ordres de c Enfin, elle est réflexive car chaque élément se donne des ordres à soi-même. [...]