Relation de Bézout

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12 exercices corrigés sur la relation de Bézout

Extraits

[...] Relation de B´zout e Exercice 1. Equations a coefficients entiers ` Soient c trois entiers relatifs. On consid`re l'´quation : ax + by = dont on recherche les solutions dans Z 2. e e Donner une condition n´c´ssaire et suffisante pour que cette ´quation admette une solution. e e e Soit y0) une solution du probl`me de B´zout : ax0 + by0 = d. D´terminer toutes les solutions de ax + by = c e e e en fonction de x0 et y R´soudre dans Z2 : 2520x 3960y = 6480. [...]

[...] D´composition a coefficients positifs e ` Soient b premiers entre eux. Montrer que : x ab, v N tels que au + bv = x. bezout.tex lundi 20 aoˆt 2001 u Solutions Exercice 1. x = 1 + 11k, y = + 7k. Exercice 2. x = 67 71k, y = + 95k. x = 24 + 53k, y = 9 + 20k. x = + 20k 5m, y = 49 20k + 4m, Exercice 4. x 7422 [13860]. x 7 [60]. Exercice z = + 3k. [...]

[...] x a poss`de des solutions et qu'elles e x a ] Exercice 5. Congruences simultan´es e Une bande de 17 pirates dispose d'un butin compos´ de N pi`ces d'or d'´gale valeur. Ils d´cident de se le partager e e e e ´galement et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui ci re¸oit 3 pi`ces. e c e Mais une rixe ´clate et 6 pirates sont tu´s. Tout le butin est reconstitu´ et partag´ entre les survivants comme e e e e pr´c´demment; le cuisinier re¸oit alors 4 pi`ces. [...]