Réduction d'un endomorphisme et d'une matrice carrée

Thèmes abordés

Réduction, endomorphisme, matrice carrée, endomorphismes diagonalisables, matrices triangulaires, matrices symétriques

Résumé du document

Le but de la réduction est de trouver une base dans laquelle la matrice d'un endomorphisme est "agréable", c'est-à-dire si possible diagonale...

Rappelons que, dans le cas d'un endomorphisme, les caractères injectif, surjectif et bijectif sont équivalents.

Extraits

[...] 1 Solution : Notons A = M atB ) = . D´terminons alors les valeurs propres et les espaces propres de f : e x x +2y = λx 2x +4y = λy λI)(xı + + z = 0 λI) = 0 z x +2y = λz +2y λ)x 2x λ)y x +2y + λ)z = 0 λ)x +2y = 0 2λx L2 L2 2L1 λ2 x −2λy L3 L3 + λ)L1 λ)x +2y = 0 2λx L3 λ(λ 4)x = Si λ le syst`me a une seule solution : ( 0). [...]

[...] En effet est valeur propre de f si et seulement si Ker(f 0IdE ) = Ker(f ) = ie si f n'est pas e injective. Proposition Soit λ une valeur propre de f. Alors f (Eλ ) Eλ . D´monstration . e Soit y f (Eλ Alors il existe x Eλ : y = f et, comme x est un vecteur propre de f associ´ ` la valeur propre λ, on a ea y = f = λx Eλ (comme multiple d'un ´l´ment de Eλ ee Proposition Soient λ et λ deux valeurs propres distinctes de f. [...]

[...] R´duction e 1 R´duction d'un endomorphisme e Le but de la r´duction est de trouver une base dans laquelle la matrice d'un endomorphisme est c'est-`-dire e e a si possible diagonale . On consid`re dans cette partie un espace vectoriel E de dimension finie n et f L(E). e 1.1 Valeurs et vecteurs propres d'un endomorphisme D´finition e On appelle valeur propre de f tout nombre r´el λ tel qu'il existe au moins un vecteur non nul x v´rifiant f = λx. [...]

[...] Conclusion : f a deux valeurs propres : 2 et 2 et = V ect( et = V + Utilisation d'un polynˆme annulateur o Enonc´ : Soit f tel que f 3 + 2f 2 + f = 0. Quelles sont les valeurs propres possibles de f ? e Solution : P = X 3 + 2X 2 + X annule donc les valeurs propres possibles de f sont les racines de c'est-`-dire 0 et -1. a Remarque. Attention, rien ne dit que 0 ou est une valeur propre de f. [...]

[...] e Ce parall`le nous permettra de d´finir les ´l´ments propres d'une matrice d'une mani`re analogue ` ceux d'un endomorphisme, e e ee e a et ils auront les mˆmee propri´t´s (apr`s adaptation du vocabulaire uniquement). e ee e 2.2 Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice carr´e e D´finition e On appelle valeur propre de A tout nombre r´el λ tel qu'il existe au moins une matrice X uni-colonne ` n ´l´ments, non e a ee nulle, telle que AX = λX. [...]