Rappels et compléments sur les fonctions en mathématiques

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Rappels et compléments sur les fonctions mathématiques, formules mathématiques, dérivabilités, fonctions usuelles, fonctions polynomiales, logarithme, puissance, bijections

Résumé du document

Ce document est un cours concernant les rappels et compléments sur les fonctions en mathématiques. Il s'attache à présenter les généralités, définitions et vocabulaire principalement sous la forme de formules mathématiques. Il existe ainsi différentes façons de définir une fonction, la racine carrée par exemple. Il faut par ailleurs toujours introduire les variables dans celles-ci. Ce document introduit également les transformations du graphe d'une fonction, la dérivabilité ou encore les fonctions usuelles (affines, polynomiales et rationnelles, exponentielles...).

Extraits

[...] est dite polynomiale s'il existe et des réels tels que : . Définition : Si est polynomiale, est une racine de . Propriété : Si est polynomiale, si est une racine de , alors il existe polynomiale telle que : . Définition : est dite rationnelle s'il existe deux fonctions polynomiales, telles que . Propriétés : Si . Si n est pair, et si n est impair Si et . C. Fonctions exponentielle, logarithme et puissances Définition : est la fonction égale à sa dérivée et équivaut à 1 en 0. [...]

[...] On dit que est croissante sur si On dit que f est strictement croissante si . Définition : Soit une fonction. On dit que est décroissante sur si On dit que f est strictement décroissante si . Théorème : Les seules fonctions définies sur qui sont croissantes et décroissantes sont les fonctions constantes. Définition : Soit une fonction, soit . On note : et on lit « restreinte à ». Notation : Si est croissante, on dit que est croissante sur . [...]

[...] Les graphes des fonctions et sont symétriques par rapport à la droite . Notation : Pour , on note aussi Propriétés : . . Soit , soit Soit , soit . . Croissance comparée : et et Définition : Soit et Soit , soit Théorème : Soit . La fonction est définie et dérivable sur . On a alors : Propriétés : Soit , Soit , si a' ∈ . . . Propriétés : Soit . Si Si Croissances comparées : Soit (λ, β) ∈ . [...]

[...] Théorème des valeurs intermédiaires : Soit continue et deux points de , alors tout réel entre et possède un antécdent par en et . Corollaire : Soit strictement croissante et continue, alors est une bijection de sur éléments sont importants pour prouver le précédent théorème : ⇨ La continuité. ⇨ La stricte monotonie. ⇨ Les valeurs ou limite aux bornes de l'intervalle. Théorème : Soit continue et bijective. Alors est continue. Si est dérivable et si ne s'annule pas : . [...]

[...] si , est – périodique. II. Dérivabilité Définition : Soit ( est un intervalle), soit . On dit que est dérivable en si existe. Dans ce cas-là, on note cette limite , le nombre dérivé de en . De plus, si est dérivable pour tout , on dit que est dérivable sur . Notation : On note l'ensemble des fonctions dérivables sur . On note est la tangente de en . Théorème : Soit , des intervalles. Soit dérivables sur et , telles que est à valeurs dans . [...]