Raisonnement et règles de calculs

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Raisonnements mathématiques, règles de calculs, axiomes et théorèmes mathématiques, raisonnement par récurrence, raisonnement par l'absurde, implications et équivalences, raisonnement par contraposée

Résumé du document

En mathématiques, on se base sur des axiomes (des règles du jeu) pour établir des théorèmes (des propriétés vraies universelles), qui portent sur des objets dont on aura donné des définitions. Ce document se propose donc de définir par des exemples et des preuves le langage mathématique, mais également ses différents raisonnement. Ainsi, il n'existe pas de méthode miracle pour tout prouver, mais il existe des réflexes qui peuvent aider. Le raisonnement par récurrence est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété portant sur tous les entiers naturels. Pour le raisonnement par l'absurde, on suppose l'inverse de ce que l'on veut montrer et l'on doit obtenir une contradiction à la fin de notre démonstration.

Extraits

[...] Si et , alors . Si et , alors . Si et , alors . Si et que et sont de même signe Définition (valeur absolue) : Soit . La valeur absolue de , notée , est définie par : Propriétés : Soit et deux réels. . . Si , alors . . (inégalité triangulaire si et sont de mêmes signes). Définition puissances : Soit et . puissance , notée est le nombre défini par : fois. Propriétés : Soit , des réels et , des entiers naturels. [...]

[...] Initialisation : pour , et donc est vraie. Hérédité : Supposons qu'à un certain rang , sont des entiers naturels, alors, est un entier comme somme d'entiers naturels. Conclusion : . B. Le raisonnement par l'absurde On suppose l'inverse de ce que l'on veut montrer et l'on doit obtenir une contradiction à la fin de notre démonstration. Théorème : est irrationnel. Preuve : Supposons que est rationnel. tel que . On suppose de plus que est irréductible, alors , donc . [...]

[...] Raisonnement et règles de calculs I. Le Langage mathématique En mathématiques, on se base sur des axiomes (des règles du jeu) pour établir des théorèmes (des propriétés vraies universelles) portent sur des objets dont on aura donné des définitions. Quelques phrases mathématiques : Propositions universelles : « ». Exemple : Montrer que : . Preuve : Soit , on a . Propositions existentielles : « ». Exemple : Montrer que : « ». Preuve : Soit . Les implications : « ». [...]

[...] Preuve : Soit tel que , alors . Un produit de facteurs est nul que si l'un des deux l'est. On trouve . Synthèse : On a bien donc est la seule solution. E. Disjonction de cas Plusieurs cas sont parfois nécessaires à analyser. Exemple : Montrer que : est entier. Preuve : Supposons pair, tel que . Alors : . Supposons impair, tel que . Alors : . Dans tous les cas, si . III. Rappels de calcul Théorème des inégalités : Soit , des réels. [...]