Les puissances d'exposants réels, les fonctions puissances et les croissances comparées

Résumé du document

- La croissance exponentielle est beaucoup plus forte que la croissance de n'importe quelle fonction puissance.

- La croissance de n'importe quelle fonction puissance est plus forte que la croissance logarithmique (...)

Extraits

[...] On a alors f ( x ) = e ;.)ln x = e u ( x ) avec u ( x ) = ln x u est dérivable sur et pour tout réel x > on a ( x ) = On en déduit que x ) est dérivable sur et pour tout réel x > on a : ( ) ' = e ;.)ln x = x x - Etude de la dérivabilité en 0 : = e - 1 ) ln Or ( - 1 ) ln x = + et e X = + On en déduit que et que f n'est pas dérivable en La courbe admet une tangente verticale à l'origine. Propriétés Preuve : La fonction racine n-ième est dérivable sur ] 0 ; + [ , elle est donc continue sur ] 0 ; + [ . [...]

[...] On en déduit le résultat. Exemple : = 2 = 5 Définition Remarques : La fonction x ) est une bijection de sur . L'équivalence ; y = x ( ; = traduit le fait que la fonction x ) x n restreinte à et la fonction racine n-ième sont réciproques l'une de l'autre. Propriétés Propriété Preuve : Pour tout x > ( ) = x . [...]

[...] On peut tout de même noter que la fonction f : x ) x ( est dérivable sur ] 0 ; + [ et que pour tout x > on a f ' ( x ) = ( x ( - ) CROISSANCES COMPAREES Propriétés Preuve : Pour tout réel x > on a : = = e x - ( ln x Or x - ( ln x ) = ( 1 - ( ) = + ( car = 0 ) et e X = + Donc = e x - ( ln x = + x ( e - x = = 0 Pour tout réel x > on a : = Or ( = + et = 0 Donc = 0 et = 0 y = 4 x y = 0,1 x y = 1,2 x y = 0,8 x y = 1 Remarques : Toutes les courbes passent par le point de coordonnées ( 0 ; 1 La fonction expa est la fonction réciproque de la fonction logarithme loga . On a : - pour tout réel x strictement positif, expa (loga ( x = x - pour tout réel x , loga (expa ( x = x . - Les courbes représentatives, dans un repère orthonormé, des fonctions expa et loga sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x . [...]

[...] Ainsi : si a > expa est strictement croissante sur si 0 [...]

[...] De plus e ;.)ln x = 0 et = 0. La fonction racine n-ième est donc continue en On en déduit qu'elle est continue sur [ 0 ; + [ De plus, pour tout x > x - On en déduit que la fonction racine n-ième est strictement croissante sur [ 0 ; + [ . Tableau de variations : fn désignant la fonction racine n-ième Représentations graphiques : Remarque : Pour tout réel ( et pour tout réel x strictement positif, on a x ( = e ( ln x. [...]