Les propriétés de l'intégrale

Résumé du document

Cours de Mathématiques, illustré de graphiques et d'exemples, sur les intégrales.

Extraits

[...] Valeur moyenne d'une fonction. Soit f une fonction définie et continue sur admettant une primitive sur I soit les réels a et b de I ainsi que m et M de Si m x ) M sur I et si a b alors : b b a ) x ) dx b a ) ( Inégalité de la moyenne) en effet considérons la fonction g : I x M alors , x , on a x ) x ) b b si a b , x ) dx x ) dx b soit b x ) dx Mx] a enfin b x ) dx b a ) Propriétés de l'intégrale de même considérons la fonction h : I x m alors , x , on a x ) x ) b b si a b , x )dx x ) dx soit b b x ) dx [ mx] a b enfin ( b ) x ) dx Soit f une fonction définie et continue sur admettant une primitive sur I 1 soit les réels a et b de I , le nombre x ) dx est appelé : b - a valeur moyenne de la fonction f sur [ a ; On note µ cette valeur moyenne. [...]

[...] 1 x2 - 1 dx = - 1 ( - 1 ) dx + 1 ( 1 ) dx 2 2 1 - = x3 - + x 3 ) = - = Propriétés de l'intégrale Linéarité. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur admettant chacune une primitive sur I ; Soit ( a ; b ) I et ( α ; β ) , alors : [ α x b b ) + β x dx = α x ) dx + β x ) dx en effet si F et G sont des primitives respectives des f et g sur I alors αF + βG est une primitive de αf + βg et : [ α x ) + β x dx = [ αF( x ) + βG( x b a = [ αF( b ) + βG( b - [ αF( a ) + βG( a = α [ b ) a + [ β [ b ) a b b = α x ) dx + β x ) dx b b Remarque : si f est dérivable et négative sur [ a , alors : t ) dt = - t)]dt La fonction ( - f ) est positive sur [ a , Les fonctions f et f sont représentées par des courbes symétriques par rapport b à l'axe des abscisses donc t ) dt est l'opposée de l'aire de la surface comprise entre la courbe représentant f et les droites d'équations x = a ; x = b ; y = f - cf - Propriétés de l'intégrale Positivité b Si f 0 sur I et si a b alors x ) dx 0 en effet si F est une primitive de f sur I et f 0 alors la fonction F est b croissante donc a ) b ) et b ) a ) 0 c'est-à-dire x ) dx 0 Si b b f g et si a b alors x ) dx x ) dx en effet si f g sur I alors g f 0 donc si a b on a aussi : b [ x ) x ) ]dx 0 b x ) dx - b x ) dx 0 b x ) dx b x ) dx Inégalité de la moyenne. [...]

[...] Propriétés de l'intégrale Relation de Chasles. Soit f une fonction définie et continue sur admettant une primitive sur I alors : quels que soient les réels a , b et c de I on a : b x ) dx = c x ) dx + b x ) dx b En effet : x ) dx = b ) a ) = [ b ) c + [ c ) a c b = x ) dx + x ) dx exemple d'application. [...]