La proportionnalité et les pourcentages

Résumé du document

On note (ou encore a/b) le rapport de a à b, c'est-à-dire le résultat de la division de a par b, ce qui suppose que b est non nul. Même lorsque a et b sont entiers, ce résultat ne s'écrit pas nécessairement sous forme décimale et la notation employée permet alors de manipuler sa valeur exacte. Ainsi le résultat de la division de 5 par 3 ne peut s'écrire sous forme d'une suite décimale limitée ; il est donc pratique d'utiliser la fraction pour le désigner. On emploie le mot fraction lorsque les deux termes du rapport (le numérateur ou dividende qui figure au-dessus de la barre et le dénominateur ou diviseur qui figure au-dessous de la barre) sont entiers.

(...) Exemple 1 : deux associés A et B doivent se répartir les dividendes de leur société proportionnellement au nombre de parts qu'ils possèdent dans la société. A possède 200 parts, et B possède 300 parts. A est imposé au taux marginal de 35% et B est imposé au taux marginal de 40%. Sachant que l'impôt total versé par les deux associés a été de 5700?, il s'agit de déterminer la part de dividende revenant à chacun d'entre eux.
Désignons par x les dividendes perçus par A et par y les dividendes perçus par B.

(...) L'expression des rapports en pourcentage permet de faciliter les comparaisons sur des populations d'effectifs différents puisque cela revient à évaluer ces rapports avec comme dénominateur commun 100.

On se sert beaucoup des pourcentages pour évaluer l'augmentation ou la diminution d'une quantité au cours du temps. On leur associe alors un coefficient multiplicateur.
Prenons comme exemple, l'évolution annuelle du chiffre d'affaires d'un commerçant (en milliers d'euros) (...)

Extraits

[...] Cette règle provoque une surestimation du prix en franc d'environ 10% de sa valeur en euros. Pour avoir un résultat très proche de la réalité il faut donc retirer 10%(144 soit environ 15 à 960. On trouve alors 945F. POURCENTAGES ET COEFFICIENTS MULTIPLICATEURS. Évaluer en pourcentage ce que représente a par rapport à c'est trouver p tel qu'on a l'égalité : . On a donc : . Ainsi, si dans une section de 40 étudiants il y a 25 filles, on peut considérer que les filles représentent 62,5% des étudiants de la section puisque . [...]

[...] Les coefficients multiplicateurs sont très utiles pour calculer les augmentations ou diminutions successives. Par exemple, on sait que, pour un contribuable, le revenu imposable s'obtient en pratiquant sur le revenu déclaré deux abattements successifs de 20% et de 10%. Contrairement à ce qu'on pourrait croire au premier abord, ils ne peuvent être remplacés par un abattement unique au taux de mais au taux de 28%. En effet, on peut écrire l'équation suivante : Ri=0,9(0,8Rd), c'est-à-dire : Ri=0,72Rd. On remarquera en passant que le produit des coefficients multiplicateurs étant commutatif, les abattements peuvent se faire dans n'importe quel ordre. [...]

[...] On peut dresser le tableau de proportionnalité suivant, dans lequel x représente le prix des chaussures en francs : La proportionnalité permet d'écrire : . On trouve x=144€. La proportionnalité permet d'écrire : . On trouve x(944,64F. Avec un euro à 6,55957F, on trouve selon les règles d'arrondi officielles 944,58F. On peut établir une règle simple de conversion des euros en francs en utilisant les proportionnalités approximatives suivantes : D'où la règle : pour obtenir le prix en francs, on divise le prix exprimé en euros par 3 puis on le multiplie par 20. [...]

[...] Trois relations simples lient ces cinq quantités entre elles: . Dans ces formules, et celles qui suivent, les taux sont supposés écrit sous forme décimale pour les alléger (par exemple est écrit 0,25). On peut déduire deux autres formules liant t et La première se démontre ainsi : . La deuxième se déduit aisément de la première. Dès qu'on connaît deux quantités, on peut, en général, déterminer les trois autres. Les systèmes qu'on est éventuellement amené à résoudre sont tous linéaires. [...]

[...] C'est ce qu'on appelle encore le produit en croix Ce produit en croix admet de multiples équivalences: Multiplication par un réel : (seul le numérateur est multiplié par ; Somme de deux rapports : (réduction au même dénominateur) ; Produit de deux rapports : (on multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux) ; Rapport de deux rapports : (on multiplie le premier par l'inverse de l'autre) Calculatrice. Sur une calculatrice CASIO (GRAPH65 par exemple), la fraction s'introduit en frappant la séquence de touches suivante : 5 ab/c 3 EXE. Il s'affiche alors : 1(2(3. [...]