L'algorithme de Gauss-Jordan

Résumé du document

Programmation en C d'une inversion de matrice et de la résolution d'un système d'équations matriciel. Le but du projet est de réaliser un programme qui permette, à la fois, de résoudre des systèmes linéaires carrés et de calculer l'inverse d'une matrice carrée. La structure de données utilisée ici est de la forme [A|b|Id].

Extraits

[...] + 1 xn = a'n,n+1 Il suffit enfin de tirer la conclusion : x1 = a'1,n+1 x2 = xj = xn = a'n,n+1 I . Algorithme général du programme LE PROGRAMME QUE NOUS DEVONS ÉCRIRE DOIT EFFECTUER LES OPÉRATIONS SUIVANTES ; Demander la dimension du système à résoudre Stocker les n2 + n coefficients d'un système. (Matrices A et Rechercher le pivot maximal Appliquer l'algorithme de Gauss Jordan à la matrice Calculer les solutions du système et l'inverse de la matrice A Afficher à l'écran les solutions du système linéaire et l'inverse de la matrice A Initialisation du tableau AVANT TOUT, LE PROGRAMME DOIT POUVOIR RÉSOUDRE UN SYSTÈME DE N ÉQUATIONS, ET C'EST CETTE VALEUR N QUI VA DÉTERMINER LA TAILLE D'UN TABLEAU DE N LIGNES ET 2N+1 COLONNES, QUI VA SERVIR À STOCKER LES ( N2 + N ) COEFFICIENTS DU SYSTÈME ET LES N2 COEFFICIENTS DE LA MATRICE A INVERSÉE . [...]

[...] Pour résoudre un tel système, on pense immédiatement à l'algorithme de Gauss-Jordan, qui est certainement le plus célèbre et le plus utilisé. Bien qu'il ne soit pas le meilleur en termes de temps de calcul, il s'agit d'un des algorithmes les plus simples à mettre en œuvre pour résoudre ce genre de problème. La méthode de Gauss-Jordan est basée sur la transformation de la matrice des coefficients des inconnues en une matrice unitaire par des combinaisons linéaires successives des différentes équations. [...]

[...] Soit donc le système à résoudre : a1,1 x1 + a1,2 x2 + . + a1,j xj + . + a1,n xn = a1,n+ ai,1 x1 + ai,2 x2 + . + ai,j xj + . + ai,n xn = ai,n+ an,1 x1 + an,2 x2 + . + an,j xj + . + an,n xn = an,n+1 Qui, en fin d'algorithme, sera devenu : 1 x1 + 0 x2 + . + 0 xj + . + 0 xn = x1 + 1 x2 + . [...]