Les produits scalaires

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Résumé de cours de Mathématiques niveau Terminale S sur les produits scalaires, contenant les définitions et propriétés essentielles.

Extraits

[...] Si ⋅ alors  et  sont orthogonaux u AB v CD et les droites et sont orthogonales. [...]

[...] Les vecteurs  et  sont coplanaires lorsque les points AB CD D sont coplanaires. Orthogonalité dans l'espace u v u v Soit  = et  = . [...]

[...] * *345A6 ( B Produit scalaire – L'indispensable Généralités Une unité de longueur étant choisie, on appelle produit scalaire u v des vecteurs  et  le réel : u v u v u v ⋅ = ∥  ∥−∥∥ −∥∥  2 Pour tous vecteurs u ,  , w et tous réel k  v  uv vu ⋅ = ⋅ k  ⋅=k ⋅  u v uv ⋅  w =⋅⋅ u v  u v uw    2=  22 ⋅  2 u v u uv v  −   =  −2 ⋅  2 u v u uv v u v u v u v  −  =   ⋅  −  Dans le plan ⋅ =∥∥×∥∥×cos ,  uv u v u v  OA⋅OB=OA×OB×cos  AOB Dans un repère orthonormé : u x et  x ' alors ⋅ =xx '  yy ' v u u v Si  a pour coordonnées  y    1 Orthogonalité Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est u v u v nul :  ⊥  ⇔ ⋅ Théorème d'Al-Kashi  a 2=b 2 c 2 −2bc cos A Théorème de la médiane Si I est milieu du segment alors pour tout point M : 1 MA2 MB 2 =2MI2  AB Distance d'un point à une droite Dans un repère orthonormal, la distance du point A(α,β) à la droite d'équation ax + by + c = 0 est égale à ∣a b c∣ AH =  a2b Dans l'espace u Dans un repère orthonormal, le produit scalaire des vecteurs  et x v  v  de coordonnées u y et  y ' est calculé par : z u v ⋅ =xx '  yy '  zz '    Toutes les propriétés du produit scalaire établies en géométrie plane restent valables dans l'espace pour des vecteurs coplanaires. [...]