Produit scalaire et équations d'objets du plan

Résumé du document

Court article de Mathématiques destiné à des élèves de Première scientifique au sujet du produit scalaire, et plus précisément au sujet de la génération d'équations d'objets du plan. On y retrouve les méthodes importantes qui permettent aux élèves de trouver rapidement une équation de droite ou de cercle, avec les démonstrations (qui, elles, permettent de mieux comprendre les méthodes).

Extraits

[...] On a bien l'équation de (d') : "5x + 4 y + 11 = ! E. Equation d'un cercle connaissant le centre et le rayon ! ! Intéressons-nous maintenant aux cercles. Par définition, un cercle est l'ensemble des points du ! plan équidistants à un point, appelé centre du cercle. Soit I ( x I I ) un point du plan et R un nombre réel, alors : M ( y ) appartient au cercle de centre I et de rayon R " IM = R " IM 2 = R 2 " ( x # xI ) + ( y # yI ) = R ! [...]

[...] Equation d'un cercle de diamètre donné ! Que se passe-t-il si on nous donne le diamètre plutôt que le centre et le rayon ? Il faudrait par exemple déterminer le milieu de ce diamètre, puis la demie longueur de celui-ci pour utiliser la démonstration précédente. Mais il y a bien plus simple en effet, si un cercle est de diamètre [ AB] , alors pour tout point M de ce cercle, AMB est un triangle rectangle en c'est à dire que MA et MB sont orthogonaux, et on peut utiliser le produit scalaire avec la relation MA.MB = Par exemple, avec les points définis plus haut : ! [...]

[...] # x " Par exemple, si et , alors on a AB% ( et AM % ( et donc, ' $ y ' ! AB et ! colinéaires " # y # 4 ( x # = 0 " x # 5y + 13 = 0 AM ! ! ! ! B. Droite parallèle à une droite donnée ! Si l'on souhaite déterminer l'équation d'une droite parallèle à une droite d'équation ax + by + c = 0 et passant par un point quelconque du plan, il suffit de savoir la chose suivante : deux droites parallèles ont le même vecteur directeur. [...]

[...] Par exemple, cherchons l'équation de la droite (d') perpendiculaire à la droite et passant par C(3 Il suffit d'écrire que tout point M ( y ) appartient à cette droite si et seulement si AB.CM = # x " Or, CM % ( donc AB.CM = 0 " x # + 4 ( y = 0 " #5x + 4 y + 11 = $ y ' ! ! On a une autre méthode qui utilise le vecteur normal : ! & ( est normal à donc l'équation de (d') est de la forme "5x + 4 y + c = $ ' Or C(3 appartient à (d') donc # 3 + 4 c = 0 donc c = 11. [...]

[...] Commençons tout d'abord par un rappel sur les équations cartésiennes des droites du plan. A. Equation cartésienne d'une droite Tout d'abord, on peut montrer que toute droite du plan admet une équation de la forme ax + by + c = 0 où b et c sont des réels et les coordonnées d'un point de cette droite. La démonstration permet de comprendre comment générer une telle équation. r r On considère connu la propriété suivante : y ) et v ( colinéaires " y = On considère les points x A A ) et x B B ) . [...]