Processus stochastiques en temps discret

Résumé du document

Dans le modèle mono-périodique du chapitre précédent :
- à la date 0, l'agent ne connaît que l'ensemble des états de la nature gamma,
- à la date 1, il connaît exactement l'état de la nature qui s'est réalisé.

Dans une économie multi-périodiques, les dates d'échange sont t = 0,1,…T, le véritable état de la nature n'est révélé que progressivement au fur et à mesure de l'arrivée de nouvelles informations.

L'arrivée d'information est modélisée à l'aide du concept de structure d'information ou de filtration.
L'information à la date t est représenté par une tribu. Rappel une tribu (une structure d'information) F est un ensemble de sous ensembles de gamma tel que :


La paire est appelée un espace mesurable. Si gamma est fini, les tribus sont de simple partitions de gamma.

L'évolution de l'information au cours du temps est donc représentée par une suite de tribus de plus en plus fines : , cette famille de tribus est appelée une filtration.

Exemple 1 : A la date 0, l'agent sait qu'il y a 5 états de la nature, à la date 1 il sait que soit les 3 premiers états se réaliseront soit les 2 derniers, à la date 2 il sait quel état s'est réalisé.
La tribu en 0 est , c'est la plus petite tribu possible, elle représente l'absence d'information. La tribu en 1 est . La tribu en 2 est F, l'agent connaît tout.
Dans ce cas (nombre d'états de la nature fini), l'évolution de l'information peut être représentée par un arbre.

Extraits

[...] Processus stochastiques en temps discret 1. Présentation des outils mathématiques 1. Information et filtration Dans le modèle mono-périodique du chapitre précédent : - à la date l'agent ne connaît que l'ensemble des états de la nature - à la date il connaît exactement l'état de la nature qui s'est réalisé. Dans une économie multi-périodiques, les dates d'échange sont t = le véritable état de la nature n'est révélé que progressivement au fur et à mesure de l'arrivée de nouvelles informations. [...]

[...] C'est-à-dire que : . Exemple 7 : Avec les données de l'exemple montrez que l'actif dont les paiements sont ; 0,25 ; 4,25 ; 5 ; est atteignable. Cette stratégie coûte : -1,75*1 + 1,25*5 1*3 = 1,5 au nœud 11*1 - 1,5*4,5 = 4,25 au nœud 2. (NB : une autre stratégie pour le nœud 2 coûte le même prix, exemple ( Cette stratégie coûte en 0 : + (11/6)*3,75 = 2,875 PROPOSITION 1 : Si M vérifie la condition d'AOA alors d est réplicable de manière unique. [...]

[...] On doit avoir : Dans ce cas, la seule stratégie autofinancée possible est de conserver le même portefeuille. Proposez une stratégie autofinancée quelconque, en déduire l'évolution de la valeur du portefeuille et le processus de gain. DEFINITION : Une stratégie autofinancée est une opportunité d'arbitrage si : S'il n'y a pas de stratégie d'opportunité d'arbitrage, le marché financier M vérifie l'AOA. DEFINITION : Une mesure de probabilité équivalente à P est une mesure de martingale pour Sact, si Sact suit une P*-martingale. [...]

[...] Comme on a , la mesure est bien équivalente. Il ne reste plus qu'à montrer que c'est une mesure de martingale c'est-à- dire que : La meilleure prévision du prix de l'actif à partir de l'information d'aujourd'hui, c'est le prix d'aujourd'hui. Ce résultat est vrai par construction de puisque c'est le produit de mesures équivalentes de martingale Évaluation risque neutre DEFINITION : Un actif contingent de maturité T est une variable aléatoire FT-mesurable positive ou nulle. DEFINITION : Un actif contingent, de vecteur de paiements est atteignable s'il existe une stratégie de réplication autofinancée qui reproduit d. [...]

[...] La valeur d'arbitrage du call est donnée par la formule : Imaginons j hausses entre t et T : La probabilité d'une trajectoire comportant j hausses est : Le nombre de trajectoires comportant j hausses est de : La valeur du call s'écrit donc : La valeur de q est donnée par la proposition 1b). Bibliographie Birkhauser C. Dellacherie et P.A. Meyer : Probabilités et Potentiels, Vol. II, Théorie des Martingales. Hermann (1980). Damien Lamberton et Bernard Lapeyre : Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, ellipses, Paris (1991). Jean-Claude Bertein , Roger Ceschi : Processus stochastiques discrets et filtrages optimaux. Hermès Lavoisier (2005) K.L. [...]