Processus stochastiques en temps continu

Résumé du document

Les différentes classes de processus sont les suivantes.
- Les martingales : la propriété fondammentale est la même qu'en temps discret : .
- Les processus gaussiens : un vecteur X suit une loi normale multivariée si toutes les combinaisons linéaires de X (a'X) suivent une loi normale (à 1 dimension). Le processus X est gaussien si toutes les distributions de dimensions finies sont gaussiennes. Il est défini par une fonction moyenne et une fonction covariance : .
- Les processus markoviens : . Connaissant la position à la date t, il est inutile de savoir comment on y est arrivé pour faire des prévisions sur le futur.
- Processus ponctuels (processus de Poisson) : ils modélisent des chocs soudains et isolés les uns des autres.

Extraits

[...] Processus stochastiques en temps continu 1. Présentation des processus stochastiques en temps continu Les différentes classes de processus sont les suivantes. - Les martingales : la propriété fondamentale est la même qu'en temps discret : . - Les processus gaussiens : un vecteur X suit une loi normale multivariée si toutes les combinaisons linéaires de X (a'X) suivent une loi normale (à 1 dimension). Le processus X est gaussien si toutes les distributions de dimensions finies sont gaussiennes. Il est défini par une fonction moyenne et une fonction covariance : . [...]

[...] Soit , quel est le processus suivi par y ? Soit En sommant les incréments, on obtient : En se rappelant que On en déduit que : La variance de vaut La variance de la somme de lois normales indépendantes est égale à la somme des variances soit : En résumé : Bibliographie D. Revuz, M. Yor: Continuous martingales and Brownian motion. Springer (1991). D.W. Stroock, S.R.S. Varadhan : Multidimensional diffusion processes. Springer (1979). I. Karatzas, S. Shreve : Brownian motion and stochastic calculus. Springer (1987). [...]

[...] Quel est le processus suivi par y ? En utilisant les développements limités il vient : En remplaçant x par sa valeur on obtient : et, après suppression des termes négligeables Y suit également un processus d'Itô Application du lemme d'Itô à la modélisation financière Exemple 3 : X suit un MBG, y = Logx. Donnez l'évolution de y. On a donc La modélisation de l'évolution du cours des actions L'action ne distribue pas de dividendes. S : cours de l'action : espérance du taux de rendement de l'action pour une unité de temps, taux de rendement avec capitalisation en continu : taux de variance instantanée. [...]

[...] Théorème de la limite centrale : la variance de vaut donc d'après TH : Donc Exemple 1 Construction d'un mouvement brownien : L'accroissement de la variable dépend : - de l'intervalle de temps pendant lequel il se produit , - d'une variable aléatoire . On a donc : En résumé Les accroissements relatifs à deux intervalles de temps quelconques sont indépendants. Que se passe-t-il pour les accroissements sur de grands intervalles de temps ? TH de la limite centrale : Lorsque le nombre de périodes n tend vers l'infini, la somme de variables aléatoires (V.A.) i. i. d. est une V.A. [...]

[...] L.C.G. Rogers, D. Williams : Diffusions, Markov Processes and Martingales. Wiley (1987) N. Ikeda, S.Watanabe: Stochastic differential equations and diffusion processes. North Holland (Second edition, 1988). R. Durrett: Brownian motion and martingales in analysis. Wadsworth (1984). [...]