Soient E un ensemble et B : P(E). On dit que B est une algèbre (resp. une tribu) si E 2 B, si B est stable par passage au complémentaire et si B est stable par réunion et intersection finies (resp. dénombrables). Un couple (E, B), B étant une tribu sur E, s'appelle un espace mesurable. S'il est souvent possible de décrire les éléments d'une algèbre, il n'en est pas de même pour ceux d'une tribu. On remarque que P(E) est une tribu et que l'intersection d'une famille quelconque de tribus est une tribu (...)
Sommaire
I) Mesures
A. Tribus B. Mesures C. Intégration D. Espaces de Banach. Espaces Lp E. Espaces de Hilbert. Espaces L2 F. Mesures images G. Mesures produits H. Transformation de Fourier I. Mesures de Radon sur Rd J. Mesures signées K. Fonctions à variation finie
II) Notions de probabilités
A. Espace de probabilité B. Indépendance C. Variables aléatoires réelles D. Variables aléatoires vectorielles E. Fonctions caractéristiques F. Vecteurs gaussiens G. Convergence des suites de variables aléatoires H. Convergence en loi I. Simulation J. Uniforme intégrabilité
III) Processus aléatoires
A. Processus aléatoires B. Processus gaussiens. Mouvement brownien C. Construction de Paul Lévy D. Filtrations. Processus adaptés E. Temps d'arrêt
IV) Espérances conditionnelles. Martingales
A. Espérances conditionnelles B. Calculs d'espérances conditionnelles C. Martingales D. Martingales à temps discret E. Martingales à temps continu F. Martingales locales G. Résumé
V) Calcul stochastique
A. Processus à variation finie B. Intégrale stochastique C. Le cas vectoriel D. Formule d'Itô E. Martingales exponentielles F. Théorème de Girsanov G. Espaces gaussiens H. Martingales du mouvement brownien I. Intégrale stochastique par rapport à une martingale continue J. Le cas des martingales vectorielles
VI) Équations différentielles stochastiques
A. Solutions d'Itô B. Propriétés C. Unicité en loi D. Généralisations E. Solutions fortes et faibles F. E.D.S. linéaires
VII) Processus de diffusion
A. Processus de diffusion B. La propriété forte de Markov C. E.D.P. et E.D.S.
VIII) Convergence en loi de processus
A. Convergence faible B. Convergence en loi C. Le principe d'invariance D. Problème des martingales
Index
I) Mesures
A. Tribus B. Mesures C. Intégration D. Espaces de Banach. Espaces Lp E. Espaces de Hilbert. Espaces L2 F. Mesures images G. Mesures produits H. Transformation de Fourier I. Mesures de Radon sur Rd J. Mesures signées K. Fonctions à variation finie
II) Notions de probabilités
A. Espace de probabilité B. Indépendance C. Variables aléatoires réelles D. Variables aléatoires vectorielles E. Fonctions caractéristiques F. Vecteurs gaussiens G. Convergence des suites de variables aléatoires H. Convergence en loi I. Simulation J. Uniforme intégrabilité
III) Processus aléatoires
A. Processus aléatoires B. Processus gaussiens. Mouvement brownien C. Construction de Paul Lévy D. Filtrations. Processus adaptés E. Temps d'arrêt
IV) Espérances conditionnelles. Martingales
A. Espérances conditionnelles B. Calculs d'espérances conditionnelles C. Martingales D. Martingales à temps discret E. Martingales à temps continu F. Martingales locales G. Résumé
V) Calcul stochastique
A. Processus à variation finie B. Intégrale stochastique C. Le cas vectoriel D. Formule d'Itô E. Martingales exponentielles F. Théorème de Girsanov G. Espaces gaussiens H. Martingales du mouvement brownien I. Intégrale stochastique par rapport à une martingale continue J. Le cas des martingales vectorielles
VI) Équations différentielles stochastiques
A. Solutions d'Itô B. Propriétés C. Unicité en loi D. Généralisations E. Solutions fortes et faibles F. E.D.S. linéaires
VII) Processus de diffusion
A. Processus de diffusion B. La propriété forte de Markov C. E.D.P. et E.D.S.
VIII) Convergence en loi de processus
A. Convergence faible B. Convergence en loi C. Le principe d'invariance D. Problème des martingales
Index
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Extraits
[...] Qx) la projection orthogonale de x sur M (resp. M Preuve: Existence. Soient x H et F = x + M = + y M F est un convexe ferm´e. Soient Qx l'unique ´el´ement de F tel que Qx = inf( z , z F ) (prop .3) et P x = x Qx. Comme Qx x + M , P x M . Posons z = Qx. On a Mesures On en tire 2λ(y, λ2 et, choisissant λ = = 0 d'o` u z = Qx M . [...]
[...] On d´efinit de mˆeme la notion de processus trajectoires continues (resp. trajectoires p.s. continues). efinition Deux processus (Xt , t ) et (Xt t ) d´efinis sur (Ω, et (Ω F P0 ) sont dits ´equivalents si, pour tous t tn , tous A An P(Xt1 A Xtn An ) = P0 (Xt01 A Xt0n An ) Soient (Xt , t ) et (Xt t ) deux processus d´efinis sur (Ω, P). On dit que Xt0 est une modification de Xt si, pour tout Xt0 = Xt p.s. [...]
[...] Plus g´en´eralement on appelle fonction de r´epartition toute application de R dans R croissante de 0 1 et continue droite. Le th montre que toute fonction de r´epartition F est la fonction de r´epartition d'une probabilit´e sur R et donc qu'il existe une v.a. X de fonction de r´epartition F . Le th´eor`eme suivant fournit un moyen de construire une telle v.a. partir d'une v.a. de loi U 1). eor` eme Soient F une fonction de r´epartition et U une v.a.r de loi U 1). [...]
[...] Consid´erons maintenant une suite Xn de v.a.r. ind´ependantes de mˆeme loi avec E(X12 ) [...]
[...] Proposition Soit Xn une suite de v.a.r. Xn converge en probabilit´e ssi, pour tout ρ > supk Xn+k Xn > ρ) Xn converge dans Lp p P(supk Xn+k Xn > ρ) 0. Preuve: Supposons que, pour tout ρ > supk Xn+k Xn > ρ) 0. On peut alors construire une suite croissante d'entiers nr telle que Xnr Xnr > ) et donc (prop .3) Xn converge p.s. [...]
