Les probabilités et les variables en statistiques

Thèmes abordés

Statistiques, analyse combinatoire, probabilité, espace probabilisable, espace probabilisé, formule de Bayes

Résumé du document

Une correspondance d'un ensemble E dans un ensemble F associe à certains éléments (éventuellement, à chaque élément) de E un ou plusieurs éléments de F.
E est appelé ensemble de départ (ou source) et F est appelé ensemble d'arrivée (ou but).
Tout élément de E a une image dans F. Cependant deux éléments distincts de E peuvent avoir des images identiques. Par exemple ici 1 et 3 ont pour image a et 2 et 4 ont pour image b.
Certains éléments de F peuvent ne pas avoir d'antécédents ; par exemple, b, c et e n'ont pas d'antécédents dans E.

Extraits

[...] Exemple 2 : Au loto sportif, on parie sur les résultats de 16 matches de football. Toute grille est une 16-liste de N la première équipe gagne, N match nul la deuxième équipe gagne) Il y a donc 316 = grilles de lotos sportifs différentes. Arrangements : Définition : Soit F un ensemble fini non vide de cardinal un arrangement de p éléments de F est une liste ordonnée de p éléments distincts de F. On note le nombre de p-arrangements d'un ensemble à n éléments. [...]

[...] Bk où B est l'ensemble des n boules de l'urne. Jet d'une pièce de monnaie jusqu'à ce qu'on obtienne pile pour la première fois, en comptant le nombre de jet. Ω = { Durée de vie d'un livre On distingue 3 types d'épreuves aléatoires suivants la nature de l'ensemble fondamental : Ω fini (exemple Ω infini dénombrable (exemple Ω infini continue (exemple II) Evénements : Définition d'un événement : On appelle événement associé à une épreuve aléatoire toute proposition logique dont on peut dire à l'issu de l'épreuve si elle est vrai ou fausse. [...]

[...] Proposition et preuve : Proposition : Le nombre de permutation possibles des éléments d'un ensemble f de cardinal n est égal à : n Preuve : Considérons E = { Une permutation peut être considérée comme une application bijective de E dans F et vice versa (i.e. qu'une application bijective peut être considérée comme une permutation). Le nombre de permutations possibles de F est donc égal au nombre de bijections possibles de E dans i.e. : III Famille des sous ensembles d'un ensemble fini E. = ensemble des parties d'un ensemble E Définition : Définition 1 : Soient E et A deux ensembles, on dit que A est une partie (sous ensemble) de E si tous les éléments de A sont des éléments de E. [...]

[...] III) Propriétés : Propriété 1 : Propriété 2 : Propriété 3 : Chapitre 5 : Variable aléatoire discrète Définition d'une variable aléatoire discrète : Exemple : On lance un dé avec une mise de 1 €. Si le résultat est 5 ou 6 on gagne 2 €, si le résultat est 3 ou 4 on récupère sa mise et si le résultat est 1 ou 2 on perd sa mise. On considère une application qui à chaque résultat de cette épreuve aléatoire associe le gain définit. On peut donc définir une variable aléatoire correspondant au gain. [...]

[...] Exemples : On va définir pour chaque exemple l'espace fondamental correspondant : Le jet d'une pièce de monnaie non truquée. Ω = {pile, face} Lancer d'un dé. Ω = { Tirage une à une et sans remis de k boules dans une urne en contenant n boules . Ω = {tous les k-uplets de k éléments distincts d'un ensemble à n éléments} = Tirage d=une à une avec remise de k boules dans une urne en contenant n boules . {tous les k-uplets de k éléments non distincts d'un ensemble n éléments}= . [...]