Les probabilités conditionnelles et événements indépendants

Thèmes abordés

Probabilités conditionnelles, événements indépendants, expérience aléatoire, formule de Bayes, partition de Ω

Résumé du document

Soit ℰ une expérience aléatoire modélisée par (
, , PI ).
Supposons que l'on dispose d'une information supplémentaire A ; on va étudier chacun des événements B de l'expérience aléatoire relativement à l'information A, et en particulier on va regarder les chances de réalisation des événements B qui sont influencés par A.
Si on note P(B) les chances de réalisation de B sachant A, on regarde si P(B) est ou non différent de PI (B) (probabilité de B sans l'information A). On introduit la notion de probabilité conditionnelle sachant A.

Extraits

[...] + IP(An) IPAn Remarque : La partition la plus élémentaire est , A = et A A Corollaire : IP(B) = IP(A) IPA(B) + IP(A) IPA(B) Exemple : U = boules rouges, N boules noires} On tire successivement et sans remise deux boules. B = "obtenir une boule rouge au second tirage" A = "obtenir une boule rouge au premier tirage" A = "obtenir une boule noire au premier tirage" IP(B) = IP(A + IP(A A = IP(A) IP + IP(A) IPA(B) IP(A) = R R+N IPA(B) = IP(A) = N R+N IPA(B) = R D'où, IP(B) = R + N R R + N R = = + + N R + N + N R + N Exemple : U = boules rouges, N boules noires, V boules vertes} On tire successivement et sans remise deux boules de U. [...]

[...] U = boules rouges, N boules noires} A = "obtenir une boule rouge au premier tirage" = R1 B = "obtenir une boule rouge au deuxième tirage" = R2 IP(A) = R et IPA(B) = R+N A est antérieur à donc il faut utiliser IP(A = R + + N Théorème (généralisation) : Soit B Bn. IP(B1 B2 . Bn) = IP(B1) IPB1(B2) . IPB1 B2 . Bn Exemple : On choisit successivement et sans remise trois boules de U. [...]

[...] Chapitre 2 : Probabilités conditionnelles et événements indépendants Soit ℰ une expérience aléatoire modélisée par ( IP). Supposons que l'on dispose d'une information supplémentaire A ; on va étudier chacun des événements B de l'expérience aléatoire relativement à l'information et en particulier on va regarder les chances de réalisation des événements B qui sont influencés par A. Si on note IPA(B) les chances de réalisation de B sachant on regarde si IPA(B) est ou non différent de IP(B) (probabilité de B sans l'information A). [...]

[...] Exemple : Mme T et Mme D sont enceintes. A = "Mme D a une fille" B = "Mme T a une fille" C = "les deux enfants se marient" = ? IP = ? IP(A = IP(A) IP(B) ; les deux événements sont indépendants relativement à IP IPC(A IPC(A) IPC(B) ; les deux événements sont non indépendants relativement à IPC On dit que B et C sont I -mutuellement indépendants ou I -indépendants dans leur ensemble P P si et seulement si : A et B indépendants, A et C indépendants, B et C indépendants IP(A = IP(A) IP(B) IP(A = IP(A) IP(C) IP(B = IP(B) IP(C) IP(A B = IP(A) IP(B) IP(C) Attention Ne pas confondre événements disjoints et indépendants. [...]

[...] On choisit successivement et sans remise 2 boules dans l'urne. = {ω = ( ω = ( ω = ( ω = ( ω = ( ω = ( Chaque tirage de deux boules a autant de chances d'être obtenu qu'un autre. On est dans un cas d'équiprobabilité et on munit de IP la probabilité uniforme ω , IP(ω) = = Card{ } 6 ω = ei ej i ei boules}} NB : Card{ } = A 3 = = = 6 2 Soit A = "la première boule tirée est B = "la deuxième boule tirée est Card{B} Sans information, IP(B) = = = ; B = {ω = ( ω = ( Card{ } Supposons A réalisé ; alors IP(B) = 0. [...]