Les probabilités : fondement et calcul

Résumé du document

Hasard, aléas, phénomène stochastique sont parties intégrantes du développement des calculs de probabilités. Particulièrement, nous pouvons considérer que les jeux, et en particulier le jeu de dé, sont à l'origine des interrogations des joueurs sur leur possibilité de succès et de gains. En effet, étymologiquement hasard et aléatoire ont même racine. Hasard est issu de l'arabe az-zahr (dé à jouer) et aléatoire est issu du latin alea (dé à jouer, que l'on retrouve dans la citation célèbre de l'empereur César alea jacta est, le sort en est jeté c'est-à-dire les jeux sont faits (...)

Extraits

[...] Il existe ainsi une infinité de possibilités de réalisation suivant les sujets étudiés, pouvant prendre des valeurs probables entre 0 et on dit alors que les événements sont incertains ou probables. Si l'on prend une pièce de monnaie, la réalisation d'un lancer de pièce peut aboutir à la réalisation de "pile" ou "face", et le tirage du loto aboutit au choix de 6 numéros appartenant à l'ensemble des combinaisons possibles de 49 nombres pris 6 à la fois. Dans le premier cas celui de la pièce de monnaie la valeur de réalisation de l'événement inconnu, le résultat du lancer de pièce, aboutit au calcul de la valeur de réalisation de "pile" égale à 1/2=50% et de "face" égale à 1/2=50%. [...]

[...] L'ensemble des événements d'une une variable aléatoire s'appelle l'espace de la variable aléatoire et est représenté par la lettre grecque majuscule Ω (oméga), appelé également Univers de la V.A. (Variable Aléatoire), ensemble fondamental , espace échantillon ou encore espace échantillonnal. La somme des probabilités attachées à chacun des événements de Ω vaut 1 (100%). Il est évident qu'il est plus facile de faire cette somme lorsque l'ensemble Ω est constitué d'événements dénombrables. Lorsque Ω est constitué d'un ensemble continu de valeurs, donc un ensemble indénombrable, il sera nécessaire de raisonner 2 sur des sous-parties de cet ensemble, mais la somme des probabilités affectées aux sous-parties vaut également 1. [...]

[...] Quelque chose de prévisible peut-il être le fruit du hasard? Signalons enfin que la notion de providence se substitut au hasard dans la dialectique religieuse. Si l'on veut formaliser le hasard, il faut admettre que l'événement aléatoire ou éventualité ne possède pas de mémoire c'est à dire qu'il est indépendant des événements antérieurs. Cette approche théorique est due à Antoine Augustin Cournot (1801-1877) qui remarqua que le caractère fortuit de certains événements découle de ce que leurs causes antérieures présentent un caractère d'événements d'indépendance. [...]

[...] Dans ce cas de figure, les probabilités mesurent les possibilités d'occurrence de situations dénombrables. Nous sommes là, face à une notion de probabilités mathématiques ou théoriques. Il existe un second cas de figure où les probabilités calculées sont issues des mesures antérieures, nous parlons alors de probabilités empiriques ou statistiques. Par exemple l'espérance de vie d'un individu dépend préalablement des mesures d'une population d'individus. Calcul des probabilités La théorie du calcul des probabilités a été formalisée par Jacques Bernoulli (1654-1705) dans un traité publié à titre posthume "Ars Conjectandi" ( l'art de conjecturer - 1713) et l'on doit considérer ce traité comme une somme considérable de l'état de l'art en la matière; on y trouve la notion de probabilité 1 clairement définie et le théorème des grands nombres ( que l'on appelle également loi des grands nombre). [...]

[...] Par opposition à la notion classique des probabilités mathématiques, nous définissons une notion fréquentiste des probabilités empiriques. Une épreuve est réalisée N fois pour lesquelles l'événement E se répète NE fois. Alors la probabilité limite a pour expression: E ) = NE lim N N 3 Cette probabilité est une probabilité a posteriori. Epreuve, expérience, échantillon, événement , espace Réaliser une action sur une variable aléatoire est appelé épreuve ou expérience ( ou expérience aléatoire). Le résultat qui se manifeste à travers des caractéristiques observables est appelé événement. [...]