Les probabilités - publié le 18/06/2023

Thèmes abordés

Probabilité, loi binomale, coefficients binomiaux, triangle de Pascal, indépendance d'évènements, probabilité non nulle, variable aléatoire discrète, espérance, valeur moyenne, coût moyen de production, définition, épreuve de Bernoulli, schéma de Bernoulli

Résumé du document

Ce cours aborde les notions suivantes :
? L'indépendance de deux événements de probabilités non nulles.
? L'espérance d'une variable aléatoire discrète.
? La loi binomiale B(n, p) ; espérance.
? Les coefficients binomiaux (n, k) ; triangle de Pascal.

Extraits

[...] On note X la variable aléatoire qui, a chaque issue d'un schéma de Bernoulli, associe le nombre de succès. Pour tout entier k tel que 0⩽⩽k n , on appelle coefficient binomial le nombre de chemins associés à l'événement { X } sur l'arbre représentant le schéma de Bernoulli. Ce coefficient binomial est noté ( n k ) , ce qui se lit parmi Exemple 1 : L'arbre ci-contre modélise un schéma de Bernoulli pour On constate qu'il existe trois chemins comprenant exactement une fois l'issue ainsi ( 3 = De même : ( 3 ; ( 3 et ( 3 Propriété - III Pour tout entier naturel n⩾ on a : ( n = ( n = 1 et ( n = ( n n−1) = n Propriété - IV Soit n⩾2 un nombre entier. [...]

[...] Un coefficient binomiale est égal à la somme des deux coefficients placés au-dessus de lui On lit ainsi : ( 5 ( 6 - Loi binomiale Définition - V Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. On la note b ; Propriété - V Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale b ; p). [...]

[...] On tire une boule au hasard. On note D l'événement "obtenir un multiple de deux", T l'événement "obtenir un multiple de trois", N l'événement "obtenir un nombre supérieur ou égal à neuf". Les événements N et T sont-ils indépendants Que dire des événements D et N N et T indépendants N∩T ) ? = x N = { 9 ;10 ;11 ;12 } = 4/12 = 1:3 T = { 3 ;12 } = 4/12 = 1/3 x = 1/3 x 1/3 = 1/9 N∩T = { 9:12} p(T∩N) = 2/12 = 1/6 Donc p(N∩T) # x donc les deux événements ne sont pas indépendants. [...]

[...] Le tableau suivant donne la loi de probabilité de X : xi p (X=xi ) Calcule l'espérance de la variable aléatoire X. Interpréter l'espérance de la variable aléatoire X i=1 k xixp( X =xi ) = x1 x X =xi ) = 130 x 0,893 + 175 x 0,067 + 190 x 0,037 + 235 x 0,003 = 135,55 L'entreprise peut espérer avoir un coût moyen de production de 135,55Euro par ordinateur si elle en produit un très grand nombre. [...]

[...] Quelle est la probabilité que 3 des 5 personnes soient du groupe A ? schéma de Bernoulli épreuve de Bernoulli « choisir une personne est une épreuve de Bernoulli dont le succès S est « la personne est du groupe sanguin A » de probabilité p = 45/100 = 0,45 on répète cette épreuve de bernoulli de manière identique et indépendante donc on a un schéma de Bernoulli avec n=5 est la variable aléatoire qui compte le nombre de succès suit la loi binominale 5 ; 0,45) Donc on a X=k ) = ( n k ) x pk x ( 1-p ) n x k X=k ) = ( 5 k ) x 0,45k x O,555-k on veut = ( ) x O,45[3] x O,55[5-3] = 10x O,45[3] x O,55[2] = 0,24 Propriété - VI Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale b ; p). [...]