Probabilité statistique : analyse combinatoire, variables aléatoires discrètes, etc.
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L'analyse combinatoire fournit des méthodes de dénombrement particulièrement utiles en théorie des probabilités. Une application courante et assez intéressante est la démonstration du développement du binôme de Newton.
Arrangement
Définition. Etant donné un ensemble de n objets, on appelle arrangement de p objets, toutes suites de ces p objets.
Cette définition implique que, pour obtenir un arrangement, il faut choisir p objets parmi n et les ordonner ; par exemple en leur attribuant une place parmi p ou un numéro de 1 à p (...)
Sommaire
I) Analyse combinatoire et éléments de base de la théorie des probabilités
A. Analyse combinatoire 1. Arrangement 2. Permutation 3. Combinaison 4. Application B. Eléments de base de la théorie des probabilités 1. Notion d'expérience aléatoire 2. L'ensemble fondamental teta C. Les événements D. Algèbre des événements E. La probabilité P 1. Probabilité élémentaire 2. Rappel de combinatoire : application 3. Probabilité conditionnelle 4. Indépendance
II) Variables aléatoires discrètes et quelques lois théoriques
A Variables aléatoires (V. A.) 1. Définitions 2. Eléments caractéristiques 3. Opérations sur les variables aléatoires discrètes 4. Influence d'un changement de variable B. Quelques lois de probabilités discrètes 1. Loi de bernouilli 2. Loi uniforme 3. Loi géométrique 4. Loi hypergéométrique 5. Loi binomiale 6. Loi de poisson
III) Variables aléatoires continues et quelques lois théoriques
A. Rappels sur l'intégration par partie B. Généralités sur les variables aléatoires continues C. Eléments caractéristiques 1. Espérance ou moyenne de X 2. Variance et l' écart-type de X 3. Moment de X D. Quelques inégalités de probabilité 1. Inégalité de Markov 2. Inégalité de Bienaymé Tchébychev 3. Loi faible des grands nombres E. Quelques lois théoriques 1. Loi uniforme 2. Loi exponentielle 3. Loi normale ou de Laplace-Gauss
IV) Échantillonnage et estimation
A. Echantillonnage 1. Le problème de l'échantillonnage 2. Caractéristiques d'un élément de la population 3. Distribution des moyennes d'échantillonnage 4. Distribution des proportions dans les échantillons B. Estimation 1. Estimation ponctuelle 2. Estimation par intervalle de confiance
I) Analyse combinatoire et éléments de base de la théorie des probabilités
A. Analyse combinatoire 1. Arrangement 2. Permutation 3. Combinaison 4. Application B. Eléments de base de la théorie des probabilités 1. Notion d'expérience aléatoire 2. L'ensemble fondamental teta C. Les événements D. Algèbre des événements E. La probabilité P 1. Probabilité élémentaire 2. Rappel de combinatoire : application 3. Probabilité conditionnelle 4. Indépendance
II) Variables aléatoires discrètes et quelques lois théoriques
A Variables aléatoires (V. A.) 1. Définitions 2. Eléments caractéristiques 3. Opérations sur les variables aléatoires discrètes 4. Influence d'un changement de variable B. Quelques lois de probabilités discrètes 1. Loi de bernouilli 2. Loi uniforme 3. Loi géométrique 4. Loi hypergéométrique 5. Loi binomiale 6. Loi de poisson
III) Variables aléatoires continues et quelques lois théoriques
A. Rappels sur l'intégration par partie B. Généralités sur les variables aléatoires continues C. Eléments caractéristiques 1. Espérance ou moyenne de X 2. Variance et l' écart-type de X 3. Moment de X D. Quelques inégalités de probabilité 1. Inégalité de Markov 2. Inégalité de Bienaymé Tchébychev 3. Loi faible des grands nombres E. Quelques lois théoriques 1. Loi uniforme 2. Loi exponentielle 3. Loi normale ou de Laplace-Gauss
IV) Échantillonnage et estimation
A. Echantillonnage 1. Le problème de l'échantillonnage 2. Caractéristiques d'un élément de la population 3. Distribution des moyennes d'échantillonnage 4. Distribution des proportions dans les échantillons B. Estimation 1. Estimation ponctuelle 2. Estimation par intervalle de confiance
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Extraits
[...] Une permutation est donc obtenue en ordonnant l'ensemble de ces n objet ; c'est un arrangement particulier u tous les objets sont choisis. Exemple Avec les objets y et combien de permutations peut-on obtenir ? Citer les. enombrement Soit Pn le nombre de permutation possible avec n objets donn´es. Le calcul de Pn est simple : En effet Pn = Ann = n 3 2 1 d'o` u Pn = Aussi on a : = 1 (par convention) et = 1. [...]
[...] A un ´el´ement choisis au hasard dans cette population est associ´ee une variable al´eatoire de Bernouilli XI . L'´el´ement choisis poss`ede la propri´et´e ou ne la poss`ede pas. La probabilit´e de cet ´el´ement poss´edant la propri´et´e est ´egale la proportion p. On pr´el`eve au hasard dans la population un ´echantillon de taille le tirage se fait avec remise de l'´el´ement tir´e afin de garder toujours la mˆeme proportion p dans la population . Si la population est tr`es grande, on consid`ere qu'un tirage avec remise ´equivaut un tirage sans remise. [...]
[...] Exemple Dans l'exemple le nombre de permutation est A24 = 4 3 = 12 Remarque Un arrangement de p objets choisis parmi n peut ˆetre obtenu en tirant d'abord un objet parmi puis un deuxi`eme objet parmi les restant, etc . Le rang du tirage sert alors ordonner les objets retenus. Vu sous cet angle il devient facile de voir que le nombre d'arrangements avec r´epetition de p objets parmi n est np Permutation efinition Etant donn´e un ensemble de n objets, on appelle permutation, toute suite de ces n objets. [...]
[...] A.GUIRO Combinaison efinition Etant donn´e un ensemble n objets distincts ; on appelle combinaison de p des ces objets, tout ensemble de p de ces objets. La notion d'ordre disparaˆıt compl`etement quand il s'agit de combinaison. Exemple Soient 4 nombres En choisissant deux nombres parmi ces combien de combinaisons peut-on obtenir ? Citer les. enombrement On se propose de d´enombrer les combinaisons possibles de p objets parmi n ; On note Cnp le nombre de combinaisons et on a : Cnp = Apn d'o` u Cnp = Cnn = et Ceci implique que Cn1 = Cn0 = 1. [...]
[...] Soit m R et σ et X une variable al´eatoire. On dit que X suit une loi normale N σ) si sa fonction de densit´e h est donn´ee par : 1 2 ( ) 1 σ = e 2 σ 2π Fonction de r´epartition H. Z x = P = h(t)dt Valeurs caracteristiques. = V = σ 2 ; σ(X) = σ Loi normale centr´ ee eduite C'est la loi normale de moyenne 0 et d'´ecart-type 1 et de densit´e x f = e 2π Elle est not´ee N 1). [...]
