Les outils probabilistes : loi binomiale, loi de Gauss, etc.

Résumé du document

Cours de Mathématiques sur les lois probabilistes, avec un rappel sur les probabilités et des exercices.

Extraits

[...] Si l'épreuve est répétée n fois et que la probabilité de succès est on parle de loi binomiale de paramètres n et p. Exemples Un examen consiste en une série de 10 questions comportant chacune 5 réponses possibles dont une seule est exacte. Le nombre de bonnes réponses obtenues lorsqu'on répond au hasard suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,2. On tire une boule dans une urne contenant 4 boules blanches et 1 rouge. [...]

[...] Dans un contexte aléatoire, on gère des valeurs possibles. On parle alors de variable aléatoire (en anglais variate ou random variable). Pour simplifier, nous nous limiterons dans un premier temps aux variables discrètes (par exemple, le nombre de concurrents). Une variable aléatoire est représentée par une lettre majuscule (par exemple une valeur possible de la variable par une lettre minuscule On note X = x l'évènement La variable X prend la valeur x Par exemple, pour le nombre de concurrents, X = 2 veut dire Le nombre de concurrents est (ou sera) égal à 2 On note la probabilité P(X = SAG - Les outils probabilistes 2/14 2009-2010 Distribution d'une variable aléatoire La distribution ou loi d'une variable aléatoire est l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable accompagnées par les probabilités qui leur sont attachées. [...]

[...] Cette loi commune est appelée la loi de Poisson de paramètre µ. SAG - Les outils probabilistes 7/14 2009-2010 Probabilité loi binomiale de paramètres 50 et 0,01 loi binomiale de paramètres 100 et 0,005 loi de Poisson espérance = Valeur possible 4 Distributions continues Définition et exemple Définition On parle de distribution continue quand les probabilités sont définies sur des intervalles, la probabilité étant nulle sur toute valeur x particulière de la variable. Exemple Prenons une ficelle, cassons-la et notons le point de rupture par la longueur du bout de gauche. [...]

[...] Quelle est la probabilité qu'il appartienne au cycle allemand ? Les résultats possibles du choix sont les différents étudiants de l'amphi. Ils sont en nombre fini et chaque étudiant a la même probabilité d'être choisi. Par conséquent, la probabilité est le nombre d'étudiants en cycle allemand divisé par le nombre total, c'est-à-dire la fréquence des étudiants en cycle allemand Variables aléatoires Définition - notations Je suis le cours d'une action. Quel sera le cours de clôture de l'action ? Je lance un nouveau produit. [...]

[...] Elle ne correspond d'ailleurs pas toujours à une valeur possible concurrents Application : les matrices de décision Une fabrique de jouets doit décider si elle lance ou non un nouveau produit sur le marché. Les bénéfices qu'elle prévoit en tirer (exprimés en millions d'euros) dépendront du succès ou non d'une campagne de publicité : SAG - Les outils probabilistes 3/14 2009-2010 Succès de la campagne Lancement du produit Oui Non Oui Non L'entreprise est prête à parier à 4 contre 1 sur le succès de la campagne de publicité. Quelle est la bonne décision si l'on prend comme critère l'espérance du gain ? Quel est l'inconvénient de cette décision ? [...]