Le principe et la démonstration par récurrence

Résumé du document

Inconnu des élèves avant le lycée, le principe de récurrence est une notion fondamentale abordée très souvent en début de programme de Terminale S et vous suivra tout au long de votre étude des mathématiques. Mais que se cache-t-il derrière cette mystérieuse expression ?

Apparu explicitement au XVIIe siècle dans les travaux de Blaise Pascal, le principe de récurrence est devenu de plus en plus utilisé au cours des siècles suivants pour aboutir finalement, au XIXe siècle, à sa formalisation et son axiomatisation par Grassmann, Dedekind et Peano (...)

Extraits

[...] Nous allons voir dans ce petit cours que le principe de récurrence fournit un procédé puissant de raisonnement mathématique très utile pour démontrer que des propositions dépendant d'un entier n = sont vraies quelque soit n. Par exemple, la proposition : pour tout se démontre aisément comme nous le verrons grâce au principe de récurrence. Pour finir cette introduction, voici une citation du livre La science et l'hypothèse de H. Poincaré (1854-1912) : Ce procédé est la démonstration par récurrence. [...]

[...] Montrons que P est héréditaire à partir du rang 0 : Soit n∈ℕ et supposons : et, Alors, en ajoutant on a : Par passage à la racine carrée : Donc : Conclusion : pour tout entier positif, on a La suite est bien majorée. V. D'autres exercices pour s'entraîner ! Soit la suite définie par 1 u u pour tout entier naturel n. Le 2 but de l'exercice est de démontrer par récurrence que pour tout u Pour cela : u 0=1 et Notez Pn la proposition u et vérifiez que P0 est vraie. Supposez que, pour un entier quelconque, Pn est vraie, c'est-à-dire supposez que u Montrez qu'il en résulte que P n+1 est vraie, c'est-à-dire u Concluez. [...]

[...] A quoi sert le principe de récurrence ? Nous allons voir ici sur la base de deux exemples que le raisonnement par récurrence permet de démontrer, prouver une proposition mathématique sur l'ensemble des entiers naturels : Exemple 1 : La proposition Pn suivante est-elle vraie pour tout entier naturel n ? Pn : 4 est un multiple de 3 n Page 1 sur 6 Principe et démonstration par récurrence v 1.0 Nous pouvons bien sûr vérifier que P n est vraie pour une valeur donnée de n. [...]

[...] Nous verrons qu'une démonstration par récurrence permet d'aboutir en faisant seulement deux vérifications. Exemple 2 : Calculons la somme des cubes des premiers entiers naturels non nuls : ; et nous remarquons que ; ; 132333=36 et nous remarquons que =100 et nous remarquons que D'où l'idée de conjecturer que, plus généralement : 1 . . Notons cette proposition Pn . Nous pouvons dire que P1 est vraie puisque que Nous pouvons dire que P2 est vraie puisque que 13= Nous avons vu aussi que P3 et P4 sont vraies, elles aussi. [...]

[...] Comment démontrer une proposition par récurrence ? Une idée simple : L'idée du raisonnement par récurrence n'est pas très difficile et peut être imagée ainsi : Imaginons une échelle parfaite que l'on veut grimper. Pour cela l'on se place sur un premier barreau, l'on vérifie qu'il est bien solide et l'on se place alors sur le barreau suivant, que l'on vérifie à son tour, et ainsi de suite . Dans cette image, le principe de récurrence peut se résumer ainsi : si l'on peut d'abord se placer sur un barreau d'une échelle, et si l'on peut ensuite passer d'un barreau quelconque à son suivant, alors on peut gravir tous les autres barreaux de cette échelle. [...]