Les primitives (Terminale S)

Résumé du document

Théorème : toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Remarque : la réciproque est fausse ; f peut admettre des primitives et être discontinue sur I. Ce théorème est une condition suffisante mais non nécessaire d'existence (...)

Extraits

[...] D'où pour tout x I , = k x ) = F ( x ) + k , k IR Unicité de la primitive Propriété : Pour tout couple x0 I et y0 IR il existe une unique primitive F0 de f sur I telle que F0(x0) = y0 Démonstration : Si f admet une primitive G sur alors toute primitive de f est de la forme + k décrivant IR. F0 ( x0 ) = y0 x0 ) + k = y0 k = y0 x0 ) Donc la fonction F0 définie par F0(x) = + y0 G(x0) est l'unique primitive de f sur I vérifiant F0(x0) = y0. Remarque: (x0,y0) sont appelés conditions initiales. [...]

[...] Démonstration : Soit H ( x ) = F ( x ) + k , k IR . H est dérivable sur I comme somme de fonctions dérivables sur et pour tout x I , H'(x)=F'(x). Or F est une primitive de f sur donc F'(x) = f(x). D'où H'(x) = et donc H est aussi une primitive de f sur I. Soit G une autre primitive de f sur I. [...]

[...] π F = sin + k = 1 + k = 2 k = D'où F0(x) = sin x + 1 est la primitive cherchée. Exercices 1. Déterminer une primitive des fonctions suivantes : x 3 1 x ) = sur IR sur + 1)3 5x + 1 5 1 x ) = sur x ) = 5 x 3 x 4 + 1 sur IR x 2. Déterminer la primitive sur IR de f ( x ) = sin x cos 3 x qui s'annule en π 4 π 2 . [...]

[...] F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et si pour tout x I , F'(x) = f(x). Exemples x ) = x est une primitive sur IR de = x F ( x ) = x est une primitive sur de f ( x ) = x F ( x ) = 9 est une primitive sur de f ( x ) = x Tableau des primitives usuelles fonction a IR x n n>0 nu' u n x 2 u cos x sin x 1 = 1 + tan x cos x cos u sin u ex e u 1 x u primitive ax x n n+1 un 2 x u sin x cos x tan x sin u cos u ex eu ln x ln u Domaine de validité IR IR Du x ) > 0 IR IR π 2 k 1 ) 2 2 k + 1 ) 2 k Z Du Du IR Du x ) > Existence de primitives Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. [...]