Techniques de calcul des primitives d'une fonction

Résumé du document

Cours d'apprentissage progressif du calcul des primitives à l'aide de 47 exemples résolus en détails. Pour chacune des techniques, les formules sont données et leur utilisation est expliquée. De plus des conseils et astuces sont donnés pour choisir judicieusement la technique adéquate.

Extraits

[...] 1 et g ( = x x ' ' Posons f ( = ln x et g ( = alors f ( = ln xdx = x ln x x. x dx = x 1 x ln x 1.dx = x ln x x + C Remarque : nous pouvons calculer de la même manière l'intégrale indéfinie de arctan x et arcsin x . Exemple 20 : sin x.e dx = ? [...]

[...] 1 Effectuons la division euclidienne du numérateur par le dénominateur : x6 x5 x6 + x5 1 x5 x6 x5 = x5 1 1 x 6 x5 1 x6 dx = ln x 1 + C Calcul des intégrales définies Formule et notation Si f est une fonction continue sur un intervalle b de réels et que F est une primitive de f sur [ alors : [ ] b f ( dx = [ F ( ] a = F F ( b a Toutes les méthodes vues ci-dessus s'adaptent au calcul des intégrales définies. Exemple 45 (intégration immédiate) : x 2 ) dx = ? ( x2 3 = 1 ( x2 x ( x 2 ) dx = 2 x ( x 2 ) dx = = 2 ( = ( 8 + = = ( ) Exemple 46 (intégration par parties) : arctan xdx = ? [...]

[...] u n ( Exemple 38 : 2 x3 + 6 x 2 + 7 x + 3 dx = ? x 4 + 4 x3 + 7 x 2 + 6 x + 2 Observons que x + 4 x + 7 x + 6 x + 2 = 4 x + 12 x + 14 x + 6 = x + 6 x + 7 x + ( ) ' ( ) x3 + 6 x 2 + 7 x + ( 2 x + 6 x + 7 x + 1 dx = 4 dx = ln x 4 + 4 x3 + 7 x 2 + 6 x + 2 + C x + 4x + 7x + 6x + x + 4x + 7 x + 6x + Exemple 39 : x 2 ( x 2 + 3x 2 + dx = ? [...]

[...] x 2x2 + x = + = 2 x 2 x 2 + 3 x 2 = 2 x 2 + 3x 2 x x x 2x + 3 dx = x 2 2x + 3 x dx = 2 x x + 3 x + 6 C On utilise des formules de trigonométrie (formules de Carnot et formules de Simpson) pour transformer les produits ou des puissances de fonctions trigonométriques en sommes dans le but d'employer la formule 11. (pour plus de détails et des exemples, voir plus bas : intégration des fonctions trigonométriques Exemples d'utilisation de la formule 13 : g ( x). [...]

[...] Comment calculer les primitives d'une fonction ? Intégration immédiate : formules de base et leur utilisation Fonction constante Fonction puissance Fonctions trigonométriques Fonctions cyclométriques Fonctions logarithmes et exponentielles Somme ou différence de deux fonctions Produit d'une fonction par un réel Composée de deux fonctions adx = n ax + C où a x 1 x dx = n + 1 + C où n 1 sin xdx = cos x + C cos xdx = sin x + C cos sin x x dx = tan x + C dx = cot x + C dx = arcsin x + C 1 x 1 + x 2 dx = arctan x + C 1 x dx = ln x + C x x e dx = e + C 1 ( f ( x ) g ( x ) ) dx = f ( x ) dx g ( x ) dx k . [...]