Polynômes et fonctions rationnelles en mathématiques

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Polynômes, fonctions rationnelles, formules mathématiques, théorème de la division euclidienne, théorème de Gauss d'Alembert, formule de Taylor polynomial, divisibilité, polynômes de Lagrange

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques concernant les polynômes et fonctions relationnelles, principalement sous la forme de formules mathématiques. Il propose diverses définitions, théorèmes tels que celui de la division euclidienne, la formule de Taylor polynomial, ou de Gauss d'Alembert. Différentes remarques et propriétés viennent compléter ces informations. Divers thèmes sont abordés comme l'anneau des polynômes, la divisibilité, les racines, l'irréductibilité ou bien les diviseurs communs. Les fonctions rationnelles ou encore les polynômes de Lagrange sont également cités.

Extraits

[...] ( et sont premiers entre eux) tel que . Théorème (Gauss) : Soit . Si et , alors . Théorème (Euclide) : Si est irréductible sur , si divise , alors P divise . Définition : Soit . Un ppcm de et est un multiple commun à et de degré minimal différent de . Si ou est nul, le ppcm de et est 0. Tous les ppcm de et sont associés. Il existe donc un unique ppcm unitaire notée . [...]

[...] s'appelle le corps des fractions rationnelles à élément dans . Définition – Théorème : et . . . Remarque : car . Définition : Soit On dit que est sous forme irréductible si : . Il est toujours possible d'écrire une fonction rationnelle sous forme irréductible, de manière unique à constante multiplicative non nulle près. Définition : Soit . La dérivée de est . Définition : Soit . On note . Propriété : Soit . . . Définition : Soit sous forme irréductible. [...]

[...] Polynômes et fonctions rationnelles I. L'anneau des polynômes Définition : Un polynôme à coefficients dans est un objet mathématique s'écrivant pour un certain et . est une indéterminée. Ce n'est pas un nombre. L'ensemble des polynômes à coefficients dans est noté . sont appelés les coefficients de P. Si tous les sont nuls, le polynôme est le polynômial, noté . Si , le plus grand tel que est appelé degré de , et noté . Le coefficient est appelé le coefficient dominant de . [...]

[...] On dit que divise , ou est un diviseur de , ou est un multiple de , ou est divisible par s'il existe tel que . On note . Propriétés : Soit . Si et , alors il existe tel que . On dit que et sont associés. Si et , alors . Si et , alors . Théorème de la division euclidienne : Soit tel que : avec . s'appelle le dividende le diviseur, le quotient et le reste. [...]

[...] Le terme en dans la décomposition en élément simple de est tel que . Proposition : Soit , alors . VII. Polynômes de Lagrange A partir de données connues, le but est de construire une fonction qui interpole ces données. Définition (symbole de Kronecker) : Définition : Soit tous les distincts, réels. Soit avec . est le -ième polynôme de Lagrange des . Propriété : . Théorème : Soit distincts. Soit quelconques. est l'unique polynôme de tel que : . Corollaire : Les polynômes tels que : sont les : avec . [...]