Cours de Maths sur les polynômes (CPGE)

Résumé du document

Résumé de cours pour le élèves des lycées et prépas. Il s'agit du chapitre sur les polynômes une partie qui nécessite la connaissance des structures algébriques basiques, groupe, anneaux et corps.

Extraits

[...] On verra de plus au paragraphe suivant que cet anneau est intègre. Définition (multiplication d'un polynôme par un élément de P Soient P un élement de et λ un élément de K. On écrit P sous la forme P = an X n , avec (an la suite de ses coefficients. P Le produit λ P du polynôme P et du polynôme constant λ, par ailleurs égal à (λan n , est noté λ.P . La multiplication précédente, qui est, comme nous le verrons ultérieurement, une loi de composition externe, possède (entre autres) les propriétés suivantes, qui définissent une nouvelle structure algébrique, la structure d'espace vectoriel sur le corps qui fera l'objet d'un prochain chapitre : K[X]2 K µ) K 2 µ) K 2 λ.(P + = λ.P + λ.Q (λ + µ).P = λ.P + µ.P λ.(µ.P ) = (λ µ).P 1.P = P Degré, coefficients d'une somme et d'un produit de polynômes Notion de degré. [...]

[...] On construit ainsi de proche en proche des couples de polynômes B0 B1 ) , Bk ) tels que : PGCD(A, = PGCD(A B0 ) = PGCD(A B1 ) = . = PGCD(Ak , Bk ) ; POLYNÔMES 7 deg(B0 ) > deg(B1 ) > . > deg(Bk ) ; deg(Bi ) 0 Comme les nombres deg(B0 deg(B1 ) deg(Bk ) sont des entiers naturels, on conçoit aisément que l'algorithme va s'arrêter à un certain rang k c'est-à-dire qu'il existe un entier naturel k0 tel que le reste Rk0 de la division euclidienne de Ak0 par Bk0 soit nul. [...]

[...] Ainsi donc, l'ensemble peut être identifié à l'ensemble P des applications polynomiales de K dans K. Cette identification, comme toute identification, s'effectue au moyen d'une bijection, qui est ici l'application Ψ obtenue en restreignant l'ensemble d'arrivée de Φ à son image, l'ensemble des applications polynomiales de K dans K : Ψ : P Pe. Notons qu'en vertu de la proposition l'identification précédente est compatible avec les opérations (addition et multiplication) de et de P Ordre de multiplicité d'une racine. Définitions. [...]

[...] (Unicité) Deux éléments de vérifiant les propriétés et précédentes sont nécessairement associés. (Définition du p.p.c.m.) Les points 1 et 2 précédents montrent que, si A et B sont tous les deux non nuls, alors il existe un unique élément M de unitaire vérifiant les propriétés et précédentes. On l'appelle plus petit commun multiple de A et de et on le note PPCM(A, B). De plus, si l'un des polynômes A et B est nul, il existe un unique élément de vérifiant les propriétés et précédentes : le polynôme nul. [...]

[...] Notons également que l'on peut pour simplifier les calculs (de division), remplacer à chaque étape de l'algorithme, tout polynôme par un polynôme qui lui est associé. Exercice Calculer le p.g.c.d. des éléments suivants de : A = 2X 5 + 7X 4 + 13X 3 + 14X 2 + 9X + 3 et B = 2X 4 + 3X 3 + 4X 2 + 2X + 1. Exercice Soient m et n des entiers naturels non nuls. Calculer le p.g.c.d. des éléments A et B suivants de : A = X n 1 et B = X m 1. [...]