Les Polynômes

Thèmes abordés

Algèbre-Ploynômes-Divisiblité

Résumé du document

Cours complet sur les polynômes ( 1ère année CPGE )

Extraits

[...] Développement d'un polynôme scindé et définition des fonctions symétriques élémentaires. Proposition 14 Soit A = α0 + . + αn X n un polynôme non constant de degré n scindé sur , de coeff dominant αn et dont la forme scindée est A = αn a1 ) . an Alors on dispose des relations : Æ Ã Ã Ã i : αn−i = σi an ) αn Mathématiques Exemples 8 chapitre : Polynômes page 15 On considère le polynôme X 4 + pX 2 + qX + r = dont les racines dans sont notées x x4 : Calculer en fonction de q et r : + + + puis : 2 + 2 + 2 + x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x+y+z 2 x + y2 + z 2 = Résoudre le système d'inconnue C tel que 1 + + x y z k=0 RedSoient n ω ωn−1 les n racines ni`mes complexes de l'unité. [...]

[...] Son image esr appelée ensemble des fonctions polynomiales à coefficients dans Ã. Proposition 9 Si Attention L'anneau F n'est pas intègre : il y a des diviseurs de zéro. Mathématiques chapitre : Polynômes page 14 C.2 Racines multiples A désigne toujours un polynôme non nul à coefficients dans Ã. Définition 13 Etant donné a , et p on dit : que a est racine d'ordre au moins p de A lorsque a)p divise A. que a est racine d'ordre p de A lorsque a)p divise A mais a)p+1 ne divise pas A. [...]

[...] A Le sev Kn A.3 Quelques précisions sur , Soit n N. On note Kn le sev vect X Xn ) = a + a1 X + . + an Xn , an ) Kn+1 de K Kn est l'ensemble des polynômes de K de degré au plus n (Kn = K , deg P Par construction, X X engendre donc Kn De plus, par construction même de K pour tout polynôme P de Kn il existe un unique an ) Kn+1 tel que P = a + a1 X + . [...]

[...] 2 Cette formule nous donne alors les coordonnées de P dans la base canonique : , ak = P . Mathématiques chapitre : Polynômes page 11 B Divisibilité dans K B.1 Multiples et diviseurs B Définitions et propriétés Définition 9 Soient On dit que B divise et on note B lorsqu'il existe Q K tel que A = BQ. a. Ne pas dire tout polynôme est un diviseur de 0 : risque de confusion. Propriété 7 K A B A1 B A A B B2 ) , Remarque 12 Attention on n'a pas : non + 1 2X). [...]

[...] Soit n et Pn = + i)2n+1 i)2n+ a. Factoriser Pn dans b. En déduire pour la valeur de Æ kπ ) et n n k=1 cos( kπ n Æ n a2 + cotan 2 k=1 kπ . 2n + Soit P un polynôme réel de degré n qui possède n racines réelles distinctes. Montrer que toutes les racines de P sont réelles Trouver P unitaire de degré 3 tel que les restes dans les DE par X X X 4 sont les mêmes. [...]