Résolution des équations différentielles appliquées

Résumé du document

I) Équations différentielles homogènes

1) Équation du 1er ordre :

- Une équation différentielle du 1er ordre est de la forme :
avec T, la constante de temps du système (donc homogène à un temps)
(...)

Extraits

[...] - Maintenant, plaçons nous dans le cas où la résolution est possible, c'est-à-dire, m > 0. - m = 0 : il s'agit de l'équation de l'oscillateur harmonique : + = 0. Les solutions sont de la forme : = Acos(w0t+ φ) , avec A et φ des constantes à déterminer avec les conditions initiales. - 0 [...]

[...] II-Équations différentielles avec 2nd membre. L'équation différentielle est de la forme : + 2mw0y'(t) + = k , ou : Par le théorème de superposition, la solution générale de l'équation avec second membre, est : la solution de l'équation homogène + la solution particulière. La nature de la solution particulière (constante, exponentielle, affine ) est la même que - k = constante : (ce qui arrivera dans 98% des cas), on suppose que est une constante on la ré-injecte dans l'équation de départ = = et on en déduit la solution particulière. [...]

[...] Résolution des équations différentielles du 1er et 2nd ordre -Équation différentielle : L'inconnue est une fonction y(t). C'est une équation liant : ou , ou -Équations différentielles linéaires : Si sont solutions alors est aussi solution. I-Équations différentielles homogènes. Équation du 1er ordre: - Une équation différentielle du 1er ordre est de la forme : avec τ la constant de temps du système (donc homogène à un temps). La solution générale de cette équation est de la forme : = A*e-t/τ , avec une constant qui est à déterminer avec les conditions initiales du système. [...]

[...] - k = autre : la solution particulière est de la même nature que et on utilise la même méthode que précédemment, c'est-à-dire que l'on injecte la solution générale dans l'équation. Méthode : - Mettre l'équation sous forme canonique (aucun coefficient devant le terme pour un 2nd ordre ou pour un 1er ordre). S'il s'agit d'un circuit électrique : utiliser loi des mailles / noeuds, si c'est de la mécanique : utiliser la RFD. - Résoudre l'équation homogène (équation caractéristique, puis solution générale). - Résoudre l'équation avec second membre. - Déterminer les constantes avec les conditions initiales. [...]