PGCD et PPCM

Résumé du document

Série de quatre exercices corrigés portant sur les notions de PGCD, de PPCM, de divisibilité, de nombres premiers et d'équations. L'objectif est de savoir résoudre des équations de type ax + by = c et ax + by + c.

Extraits

[...] Si k = k + 1 = 4 et y x vaut donc 228 / x = 19. On sait que x = k d'après 3a. donc x = 3 = 57. On sait que y = + d'après 3a. donc y = 4 = 76. L'ensemble des couples ; de S tels que : PPCM ; = 228 est donc {(114 ; 228) ; (76 ; 114) ; (57 ; 76)}. [...]

[...] Or d'après la question 2.a 9 divise 1024 1 et 1011 donc le PGCD de 1024 1 et 1011 1 est multiple de 9. Bilan le PGCD de 1024 1 et 1011 1 est 9. Exercice 4 Dans tout l'exercice, x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x [...]

[...] Correction : 1. Si n = on trouve a = 33 + 32 - 12 x 27 + 9 36 = 0 a est un polynôme de degré qui admet 3 pour racine, donc il est factorisable par n 3. Il existe donc des coefficients d et e tels que a = 3)(cn2 + dn + e). On développe puis on procède par identification pour déterminer ces coefficients. 3)(cn2 + dn + = cn3 3cn2 + dn2 3dn + ne 3e = cn3 + 3c)n2 + 3d)n - 3e Donc on doit avoir c = d 3c = e 3d = -3e = 0. [...]

[...] Exercice 2 Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à on considère les nombres : a = n3 + n2 12n b = 2n2 5n - Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par n On pose α = 2n + 1 et β = n + 4. On note d le PGCD de α et β. a. Etablir une relation entre α et β indépendante de n. b. Démontrer que d est un diviseur de 7. c. Démontrer que les nombres α et β sont multiples de 7 si, et seulement si, n 3 est multiple de Montrer que 2n + 1 et n sont premiers entre eux. a. [...]

[...] (ou et 10). b. Les solutions sont donc de la forme x = x0 + 5 et y = y0 7 k. S = { + 5k ; - 4 k ( Z } 2. a. N = 7a + 1 donc 7a = N 1 donc a = / 7 N = 5b + 2 donc 5b = N 2 donc b = / 5 Donc 7 a + 5 = 7 / 7 + 5 ( - / = N 1 = N 1 N + 2 = 1 Donc le couple ; est solution de E. [...]