Optimisation libre d'une fonction de deux variables réelles

Résumé du document

Les démonstrations des théorèmes majeurs reposent sur des propriétés établies pour une fonction d'une variable.

Extraits

[...] ee e Soit H = h2 ) un ´l´ment quelconque de R Consid´rons la fonction g de la variable r´elle t d´finie comme suit : g = f + tH). Elle v´rifie trois propri´t´s : e e e ee 1. g = f ) 2. Elle admet un extremum local en t = 0. En effet, pour tout t tel que X +tH B , α autrement dit pour tout t tel que t [...]

[...] e e e e e 2. Seconde ´tape : nature des points candidats. e On distingue deux cas : f est concave ou convexe sur E sous-ensemble convexe de R2 ; f n'est ni concave ni convexe sur E. f est concave ou convexe sur E : i. Si f est concave (respectivement convexe), alors f admet un minimum (respectivement un maximum) global en X sur E. ii. Si f est strictement concave (respectivement strictement convexe), alors f admet un minimum (respectivement un maximum) global unique en X sur E. [...]

[...] f1 = 4y 5x et k = k = 0 et k = f2 = x2 3xy + y 2 et k = k = 0 et k = f3 = x3 y 2 + 4 et k = k = 2 et k = 0 Etudier le comportement des fonctions suivantes a l'aide de la forme et de la densit´ de ` e 3 quelques-unes de leurs courbes de niveau. Repr´sentez ensuite chaque fonction dans R . e x2 y 2 x y f2 = + f3 = x + y 2 p 4. f4 = x2 + y f1 = Exercice 20 A l'aide de diff´rentes courbes de niveau, rep´rez les optima et les cols des fonctions e e suivantes : 1. f1 = x2 y f2 = 3x + 2y p 3. f3 = 16 x2 y f4 = y x2 p 5. [...]

[...] En toute rigueur, il faut d´velopper ` e e a l'ordre 3 (voire plus) la fonction afin de connaˆ le signe de la diff´rence f + f ıtre e Sauf exception, les calculs se r´v`lent particuli`rement et, fort heureusement, cette e e e occurence ne se pr´sente jamais en ´conomie. e e Exemple 3.1 Soit le programme : ext x3 + y 3 3x 27xy + 24. La fonction objectif f = x3 + y 3 3x 27xy + 24 est une fonction polynˆmiale, donc o 2 elle est d´finie et de classe C sur R . [...]

[...] f admet un minimum global sur E au point X si et seulement si Df ) = 0. Preuve. Il suffit d'adapter la d´monstration pour les fonctions concaves en tenant e compte du fait que f est convexe si et seulement si est concave. Th´or`me 3.9 Soit f : R2 R une fonction d´finie, de classe C 1 et strictement convexe sur e e e un sous-ensemble ouvert convexe de R f admet un minimum global unique sur E au point X si et seulement si Df ) = 0. [...]