Notions essentielles sur les probabilités

Résumé du document

Ce cours, inspiré de divers ouvrages reprend les éléments essentiels de probabilités. Il traite des notions suivantes : probabilités sur un ensemble fini (définitions, événements, équiprobabilité), probabilité conditionnelle, variables aléatoires et probabilités combinatoire. Cours sur les probabilités :
A) Probabilités sur un Ensemble Fini. Introduction.
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées 1, 2, 3, 4, 5, 6 et on
s'intéresse au numéro porté par la face supérieure du dé.Le résultat ne peut pas être prévu à l'avance mais seulement l'ensemble des
résultats possibles : on à effectué une expérience aléatoire.Pour décrire une expérience aléatoire, on utilise un modèle mathématique basé sur
la notion d'ensemble.

Extraits

[...] L'événement Ω est toujours réalisé : c'est l'événement certain. Une probabilité sur Ω est une application, qui à chaque événement A de Ω associe le réel appartenant à tel que : Si a a k } alors : k } ) Ω Ω est l'événement certain est l'événement impossible Remarque : Si Ω = {ω ωn } , la donnée de n réels positifs pi i tels que p1 + p2 + . + pn = 1 permet de définir une probabilité P sur Ω telle que : {ωi = pi 3 Exemple : Ω = { Il y a six éventualité : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 4 ; désigne l'événement obtenir un nombre pair A est réalisé lorsque le sorti est ou 6. [...]

[...] Le nombre de permutations d'un ensemble E de cardinal n est : . 2 se lit factorielle n Remarque : Ap = n si 0 p n en posant Une combinaison de p éléments d'un ensemble E de cardinal n est une partie (non ordonnée) de p éléments distincts de E. Le nombre de combinaison de p éléments d'un ensemble de cardinal n est : Cp = n C0 = 1 n n . p . si 1 p n Remarques : 10 Cp = n Cp = n Ap n Cp est aussi noté n Cp = Cn-p n n si 0 p n p+1 p p+1 Cn+1 = Cn + Cn Les Cp sont les coefficients du triangle de Pascal. [...]

[...] Tirages successifs de 3 numéros avec remise. Le résultat de l'expérience est la liste des numéros dans l'ordre de leur sortie : une 3liste des éléments de E. Il y a 63 = 216 résultats possibles. Tirages successifs de 3 numéros sans remise. Le résultat de l'expérience est la liste des numéros dans l'ordre de leur sortie ; ils sont tous distincts : c'est un arrangement de 3 éléments de E par exemple : ( 3). Il y a A 3 = 6 5 4 = 120 résultats possibles Tirages de tous les numéros et sans remise Le résultat de l'expérience est la liste des 6 numéros dans l'ordre de leur sortie. [...]

[...] ; : la première boule est rouge A : la première boule est noire ; : la seconde boule est rouge B : la seconde est noire Au premier tirage Au deuxième tirage Si A est réalisé Si A est réalisé et = et P(B / = 1 et On en déduit : P(A = P(A B / A ) = P(A B/A ) A = Les événements élémentaires ne sont pas équiprobable Variables Aléatoires Ω est un univers fini, muni d'une probabilité P. Une variable aléatoire réelle sur Ω est une application Ω R ; ω X(ω) L'ensemble Ω ' = x xk } des valeurs de X fini. [...]

[...] Par exemple : ( 5). Il y a 6 5 4 3 2 = 720 résultats possibles. Tirages simultanés de 3 numéros. Le résultat est une combinaison de 3 éléments de E. Par exemple : { 5}. [...]