Notions de base en algèbre linéaire

Résumé du document

Ce cours donne les notions de base en algèbre linéaire sur les espaces vectoriels de dimension finie. Il s'adresse à des étudiants de niveau prépa scientifique et deug maths/physique.
On y rappelle les notions suivantes : base d'un espace vectoriel de dimension finie, vecteurs, opérations sur les vecteurs, normes vectorielles, applications linéaires, normes sur les matrices, opérations sur les matrices, matrice inverse, déterminant d'une matrice carrée, matrices transposées et matrices orthogonales, norme matricielle.

Extraits

[...] Notions de base en algèbre linéaire Base d'un espace vectoriel de dimension finie B = en) est une base de Ee.v sur un corps K 1 ( i ( n ei ( E ( si il existe de manière unique, n éléments de K xn) tq i On dit que l'espace vectoriel est de dimension on note E ( Kn. Vecteurs E =Kn (en général, on prendra K = ( ou x ( E xi ( K Opérations sur les vecteurs E ( Kn - addition de 2 vecteurs y ( E z = x + y zi = xi + yi 1 ( i ( n - multiplication par un scalaire ( ( K et x ( E (.x = z ( E zi = (.xi 1 ( i - produit scalaire E x.y = k ( K - dans le cas le produit vectoriel y ( E x ( y ( E - produit mixte de 3 vecteurs z ( E = ( . [...]

[...] 7)Déterminant d'une matrice carrée Définition (cf polycopié) p2 paragraphe 3 Calcul de déterminant par développement par ligne ou colonne Déterminant d'ordre n-1 obtenu en supprimant la ligne 1 et la colonne j a b = ad bc a = a Coût de calcul d'un déterminant d'ordre n ( Cn ( n.Cn-1 ~ n x (n-1)Cn-2 ~ ! Propriétés : - det I = 1 - det = det A det B - det = det A - A est inversible ssi det A ( 0 - Dans z ( = det x y z = = produit mixte Matrices transposées et matrices orthogonales A ( Mm, n At ( Mn, m (At)ij = Aji det A = det At On dira que A est symétrique (avec m = A carrée) si A = At, aij = aji + B)t = At + Bt BtAt Si A est inversible = On dira que A est orthogonale si A-1 = At Norme matricielle Mn, n K = ( ou C Ensemble des matrices, muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel. [...]

[...] On peut définir des normes suivant la définition du paragraphe 3. Ex : Norme de Schurr Définition :Norme matricielle induite Soit A ( Mm, n Nm et Nn normes vectorielles sur Km et Kn, on appelle norme vectorielle induite par Nm et Nn. Propriétés des normes matricielles induites. [...]

[...] 1)Ce sont des normes. Remarque : La norme de Schurr n'est pas une norme matricielle induite. [...]