La notion de probabilité

Thèmes abordés

Probabilité, principes de dénombrement, calcul de probabilité, équiprobabilité, outils de dénombrement

Résumé du document

La probabilité mesure de manière objective les chances qu'un événement se produise.
Soit l'expérience aléatoire ℰ = "Lancer d'un dé".

= {1, ..., 6} et on définit PI sur
telle que :
PI ({1}) = PI ({2}) = ... = PI ({6}) = 1/6
On montre que PI ainsi définie est une probabilité, c'est-à-dire qu'elle vérifie les trois propriétés de la définition.
I = "obtenir un nombre impair".
A = "obtenir un nombre pair".

Extraits

[...] On retrouve la première propriété ; il n'y a pas d'incohérence. Chapitre 1 Notion de probabilités 13 II Calcul de probabilité d'équiprobabilité dans le cas spécifique Les deux exemples du lancer de dé et du lancer de pièce s'inscrivent dans le cas d'équiprobabilité. Par définition, on dira que l'on se situe dans un cas d'équiprobabilité si et seulement si : est de cardinal fini, c'est-à-dire possède un nombre fini d'éléments ; Card{ } = m. Tous les éléments de (les événements élémentaires) ont la même chance de réalisation. [...]

[...] On montrera que Card{ } = C 32 = 3 Conclusion : C'est un cas d'équiprobabilité. Propriétés Étant donnée une expérience aléatoire ℰ définie par ( , ) telle que : Card{ } = m ω , ω a les mêmes chances de réalisation qu'un autre C'est-à-dire un cas d'équiprobabilité. Dans ce cas, on munit de IP la probabilité uniforme définie par : ω , IP(ω) = = Card{ } m A , IP(A) = Card{A} nombre de cas favorables = Card{ } nombre de cas possibles Remarque : A = IP(A) = Card{A} 1 = Card{ } Card{ } On retrouve la définition de IP la probabilité uniforme Probabilités et Statistique III Rappels sur les outils de dénombrement Une combinaison à p éléments pris parmi n est un ensemble de p éléments distincts et non ordonnés choisis parmi n possibles. [...]

[...] n Chapitre 1 Notion de probabilités 15 Un produit cartésien d'ensemble est défini par : Si : = {ω = cn} avec ci IEi , i = { = IE1 IE2 . IEn Alors Card{ } = Card{IE1} Card{IE2} . Card{IEn} Un sous-cas des produits cartésiens d'ensemble est les p-hôtes : = {ω = ci IEi} = IE IE . IE fois] Si Card{IE} = n ; alors Card{ } = n p Exemple : Reprenons l'exemple des cartes tirées successivement, mais avec remise cette fois. [...]

[...] ω = ci cj i ci pn} = {ω = ci cj i ci On montre que le nombre d'arrangement de p éléments parmi n est : p Card{ } = A n = Exemple : On tire successivement 3 cartes dans un jeu de 32 cartes, sans remise. = {ω = ci cj i ci {32 cartes}} 3 32! Card{ } = A32 = (32 = 32 31 30 29! 29! = 32 31 30 = arrangements possibles Une permutation à n élément est un arrangement à n éléments parmi n. [...]

[...] Phase m nm résultats possibles Exemple : Tirage simultané de trois cartes. A = "tirer 3 cartes de même rang" NB : Dans un jeu de 32 cartes, il y a 8 rangs. [...]